设 b,c是互质整数并且 b^2-c^2是奇数,然后证明 (b-c,b+c)的最大公约数是1

设 b,c是互质整数并且 b^2-c^2是奇数,然后证明 (b-c,b+c)的最大公约数是1
设 b,c是互质整数并且 b^2-c^2是奇数,然后证明 (b-c,b+c)的最大公约数是1

设 b,c是互质整数并且 b^2-c^2是奇数,然后证明 (b-c,b+c)的最大公约数是1
b²-c²为奇数,说明b,c为一奇一偶.
则b-c,b+c都为奇数.
现设b-c,b+c有公共质因子q,则必有q>2(这是因为两个数都奇数)
所以 b-c = sq,b+c=tq
所以有 2b=(s+t)q ,2c=(t-s)q
因q>2,即有b,c有公因子q
与b,c互质矛盾.
所以 (b-c,b+c)的最大公约数是1