cosx的n次方的不定积分是什么

cosx的n次方的不定积分是什么
cosx的n次方的不定积分是什么

cosx的n次方的不定积分是什么
cosx的n次方的不定积分是 dx(n(sinx的(n-1))

Let Im,n=∫(sinx)^m*(cosx)^ndx
then Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-
∫(sinx)[(sinx)^m*(cosx)^(n-1)]'dx
=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-
∫[m(sinx)^m*(cosx)^n-(n-1)(sinx)^(m+2)*(cosx)^(n-1)]dx<...

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Let Im,n=∫(sinx)^m*(cosx)^ndx
then Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-
∫(sinx)[(sinx)^m*(cosx)^(n-1)]'dx
=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-
∫[m(sinx)^m*(cosx)^n-(n-1)(sinx)^(m+2)*(cosx)^(n-1)]dx
=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-mIm,n+(n-1)Im+2,n-2
so (m+1)Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)+(n-1)Im+2,n-2
用此递推公式求解
sin(ax)*cos(bx)
=(1/2)*[sin(a+b)x+sin(a-b)x]
so ∫sin(ax)*cos(bx)dx
=-(1/2)*[cos(a+b)x/(a+b)+cos(a-b)x/(a-b)]+C

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∫cosxdx=sinx+C
∫cos^2xdx=x/2+(sin2x)/4+C
∫cos^3xdx=sinx-sin^3x/3+C
cosx的n次方的不定积分超纲了，不能用一般函数表示哦。

由导数推导：
设y=sinx*(cosx)^(n-1)
dy/dx=[(cosx)^(n-1)]*dsinx/dx+sinx*d(cosx)^(n-1)/d(cosx)*dcosx/dx，导数商法则
=[(cosx)^(n-1)]*cosx+sinx*(n-1)*[(cosx)^(n-2)]*(-sinx)，导数链式法则
=(cosx)^n-sin²x*(...

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由导数推导：
设y=sinx*(cosx)^(n-1)
dy/dx=[(cosx)^(n-1)]*dsinx/dx+sinx*d(cosx)^(n-1)/d(cosx)*dcosx/dx，导数商法则
=[(cosx)^(n-1)]*cosx+sinx*(n-1)*[(cosx)^(n-2)]*(-sinx)，导数链式法则
=(cosx)^n-sin²x*(n-1)[(cosx)^(n-2)]，整合
=(cosx)^n-(1-cos²x)(n-1)[(cosx)^(n-2)]，三角恒等式sin²x+cos²x=1
=(cosx)^n-(n-1)[(cosx)^(n-2)]+n(cosx)^n-(cosx)^n，分配律
=n(cosx)^n-(n-1)*(cosx)^(n-2)，整合，(cosx)^n项相消
∵d/dx[sinx*(cosx)^(n-1)]=n(cosx)^n-(n-1)*(cosx)^(n-2)
∴n(cosx)^n=d/dx[sinx*(cosx)^(n-1)]+(n-1)*(cosx)^(n-2)，令含有(cosx)^n变为主项
∴∫(cosx)^n dx=[sinx*cosx^(n-1)]/n+(n-1)/n*∫(cosx)^(n-2) dx，两边除以n得到答案
由积分推导：
∫(cosx)^n dx
=∫[(cosx)^(n-1)]cosx dx，(cosx)^n降幂一次给出cosx
=∫[(cosx)^(n-1)] d(sinx)，积分cosx等于sinx
=[(cosx)^(n-1)]sinx-∫sinx d[(cosx)^(n-1)]，分部积分法
=[(cosx)^(n-1)]sinx-(n-1)∫[(cosx)^(n-2)]sin²x dx，微分(cosx)^(n-1)得出(n-1)[(cosx)^(n-2)]sinx
=[(cosx)^(n-1)]sinx-(n-1)∫[(cosx)^(n-2)](1-cos²x) dx，三角恒等式sin²x+cos²x=1
=[(cosx)^(n-1)]sinx-(n-1)∫[(cosx)^(n-2)] dx+(n-1)∫(cosx)^n dx，分配律
[(n-1)+1]∫(cosx)^n dx=[(cosx)^(n-1)]sinx-(n-1)∫(cosx)^(n-2) dx，移项
∫(cosx)^n dx=(1/n)[(cosx)^(n-1)]sinx+[(n-1)/n]∫(cosx)^(n-2) dx，两边除以n得到答案

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