已知数列{按}中,a1=3, a2=5,其前n项和sn满足sn+s(n-2)=2s(n-1)+2^(n-1)(n>=3).试求数列{an}的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 07:37:42
已知数列{按}中,a1=3, a2=5,其前n项和sn满足sn+s(n-2)=2s(n-1)+2^(n-1)(n>=3).试求数列{an}的通项公式
已知数列{按}中,a1=3, a2=5,其前n项和sn满足sn+s(n-2)=2s(n-1)+2^(n-1)(n>=3).试求数列{an}的通项公式
已知数列{按}中,a1=3, a2=5,其前n项和sn满足sn+s(n-2)=2s(n-1)+2^(n-1)(n>=3).试求数列{an}的通项公式
Sn-S(n-1)=S(n-1)-S(n-2)+2^(n-1)
所以an=a(n-1)+2^(n-1)
所以a(n-1)=a^(n-2)+2^(n-2)
……
a3=a2+2^2
a2=a1+2^1
相加,相同的抵消
所以an=a1+2^1+2^2+……+2^(n-1)=a1+2*[2^(n-1)-1]/(2-1)
a1=3
所以an=3+2^n-2=1+2^n
sn+s(n-2)=2s(n-1)+2^(n-1)(n>=3)
等价于
sn-s(n-1)=s(n-1)-s(n-2)+2^(n-1)(n>=3)
显然an=sn-s(n-1)(n>=3)
则an=a(n-1)+2^(n-1)(n>=3)
a1=3 a2=5
an=a(n-1)+2^(n-1)
=a(n-2)+2^(n-2)+2^(n...
全部展开
sn+s(n-2)=2s(n-1)+2^(n-1)(n>=3)
等价于
sn-s(n-1)=s(n-1)-s(n-2)+2^(n-1)(n>=3)
显然an=sn-s(n-1)(n>=3)
则an=a(n-1)+2^(n-1)(n>=3)
a1=3 a2=5
an=a(n-1)+2^(n-1)
=a(n-2)+2^(n-2)+2^(n-1)
=……
=a2+2^2+2^3+……+2^(n-1)
=5+2^n-4
=2^n+1
代入n=1 2也成立
故an=2^n+1。
收起
S(1) = a(1) = 3,
S(2) = a(1) + a(2) = 3+5=8.
S(n) + S(n-2) = 2S(n-1) + 2^(n-1),n=3,4,...
S(n) - S(n-1) = S(n-1) - S(n-2) + 2^(n-1),
[S(n) - S(n-1)]/2^(n-1) = (1/2)[S(n-1) - S(n-2)]/2^(...
全部展开
S(1) = a(1) = 3,
S(2) = a(1) + a(2) = 3+5=8.
S(n) + S(n-2) = 2S(n-1) + 2^(n-1),n=3,4,...
S(n) - S(n-1) = S(n-1) - S(n-2) + 2^(n-1),
[S(n) - S(n-1)]/2^(n-1) = (1/2)[S(n-1) - S(n-2)]/2^(n-2) + 1,
a(n)/2^(n-1) = (1/2)a(n-1)/2^(n-2) + 1,
b(n) = a(n)/2^(n-1),
b(n) = b(n-1)/2 + 1,
b(n) - 2 = [b(n-1)-2]/2,
{b(n)-2}是首项为b(1)-2=a(1)-2=3-2=1,公比为(1/2)的等比数列。
b(n)-2=1/2^(n-1),
a(n) = 2^(n-1)b(n) = 2^(n-1)[1/2^(n-1) + 2] = 1 + 2^n, n = 1,2,...
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