已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列.求求证q^3+q^2+q=1，q=a/c
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:00:22
已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列.求求证q^3+q^2+q=1，q=a/c
已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列.求
求证q^3+q^2+q=1，q=a/c
已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列.求求证q^3+q^2+q=1，q=a/c
(1).q^3= (a+b-c)/(a+b+c) q^2= (c+a-b)/(a+b+c)q=(b+c-a)/(a+b+c)所以,q^3+q^2+q =(a+b+c)/(a+b+c) =1(2).因为a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,公比为q所以(c+a-b)/(b+c-a)=q,(a+b-c)/(c+a-b)=q
∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c
因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列
故 (a+b+c)/(b+c-a)=(b+c-a)/(c+a-b)=(c+a-b)/(a+b-c)=q
故 a+b+c=-qa+qb+qc (1)
-a+b+c=qa-qb+qc (2)
a-b+c=qa+qb-qc (3)
(1)+(2)得b+c=qc ...
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因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列
故 (a+b+c)/(b+c-a)=(b+c-a)/(c+a-b)=(c+a-b)/(a+b-c)=q
故 a+b+c=-qa+qb+qc (1)
-a+b+c=qa-qb+qc (2)
a-b+c=qa+qb-qc (3)
(1)+(2)得b+c=qc (4)
(2)+(3)得c=qa (5)
(5)代入(4)得b+c=q*q*a
故(a+b+c)/(b+c-a)=(a+q*q*a)/(q*q*a-a)=q (6)
如果a为0,则(a+b+c)/(b+c-a)=(b+c)/(b+c)=1,故q=1,则(c+a-b)/(a+b-c)=(c-b)/(b-c)=-1,则q=-1,故矛盾,因此a不可能为0,故由(6)可知
(1+q*q)/(q*q-1)=q
故 q*q+1=q(q*q-1)=q*(q-1)*(q+1)
故 q*q+1=(q-1)q(q+1) (7)
如果q为整数,则三个连续整数q-1,q,q+1中至少有一个偶数
故q*q+1为偶数
故q*q为奇数
不妨设q*q=2k+1
故q*q-1=2k
故(q-1)*(q+1)=2k
如果(q-1)为奇数,则q+1也是奇数,则(q-1)*(q+1)为奇数,故矛盾,因此(q-1)为偶数
故q为奇数,设q=2n+1,则(7)为
(2n+1)*(2n+1)+1=2n*(2n+1)*(2n+2)
4n*n+4n+2=4n*(2n+1)(n+1)
2n*n+2n+1=2n(2n+1)(n+1) (8)
(8)式左边肯定为奇数,(8)式右边肯定为偶数,故矛盾,故此题无解
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