如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP:BP:CP=1:2:3.求证∠APB=135°
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:48:12
如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP:BP:CP=1:2:3.求证∠APB=135°如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP:BP:CP=1:2:3.求证∠APB=135°如图所示,已
如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP:BP:CP=1:2:3.求证∠APB=135°
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分析:把△APB绕B点顺时针旋转90°到△BP′C,连结PP′,运用勾股定理求出PP′的长,在△PP′C中,由勾股定理识别△PP′是直角三角形.
将△PAB绕点B顺时针旋转90°,则AB边到BC,BP边到BP′,连接PP′,则P′C=PA∠PBP′=90°,BP=BP′,∴∠BP′P=45°
又∵PA=a,PB=2a,则P′B=2a.
由勾股定理,得BP2+P′B2=PP′2,∴PP′2==8a2.
在△PP′C中,∵PC=3a,P′C=PA=a,∴PP′2+P′C2=9a2=PC2.
∴PP′2+P′C2=PC2,∴∠PP′C=90°.
∴∠APB=∠BP′C=45°+90°=135°