一道有关数列的数学题已知数列an中,a1=1/2,2a(n+1)-an=n (1)令bn=a(n+1)-an-1,求证数列bn是等比数列（2）求数列an的通项公式（3）设Sn,Tn分别为an,bn的前n项和,是否存在实数使得数列(Sn+λTn)/n为等差数列

一道有关数列的数学题已知数列an中,a1=1/2,2a(n+1)-an=n (1)令bn=a(n+1)-an-1,求证数列bn是等比数列（2）求数列an的通项公式（3）设Sn,Tn分别为an,bn的前n项和,是否存在实数使得数列(Sn+λTn)/n为等差数列
一道有关数列的数学题
已知数列an中,a1=1/2,2a(n+1)-an=n
(1)令bn=a(n+1)-an-1,求证数列bn是等比数列
（2）求数列an的通项公式
（3）设Sn,Tn分别为an,bn的前n项和,是否存在实数使得数列(Sn+λTn)/n为等差数列?若存在求出λ,若不存在,则说明理由

一道有关数列的数学题已知数列an中,a1=1/2,2a(n+1)-an=n (1)令bn=a(n+1)-an-1,求证数列bn是等比数列（2）求数列an的通项公式（3）设Sn,Tn分别为an,bn的前n项和,是否存在实数使得数列(Sn+λTn)/n为等差数列
（1）
2a(n+1)=an+n
2an=a(n-1)+n-1
两式相减,有：
2(a(n+1)-an)=an-a(n-1)+1
2(a(n+1)-an-1)=an-a(n-1)-1.(1)
bn=a(n+1)-an-1
则：b(n-1)=an-a(n-1)-1
代入(1)式,就有 2bn=b(n-1)
即bn/(b(n-1))=1/2,是等比数列
(2),则前知
a1=1/2
a2=3/4
b1=a2-a1-1=-3/4
所以bn=-3/4*(1/2)^(n-1)=-3/(2)^(n+1)
由bn=a(n+1)-an-1
得a(n+1)-an=bn+1
再两边求和,就有：
a(n+1)-a1=S(bn)+n
a(n+1)=S(bn)+n+a1
=-3/4*(1-1/2^n)/(1-1/2)+n+1/2
=n-1+3/2^(n+1)
所以an=n-2+3/2^n
验证n=1时也成立.
（3）
我们求得 Tn=S(bn)=-3/2*(1-1/2^n)
Sn=S(an)=1/2*n*(n+1)-2n+3*(1-1/2^n)
如要(Sn+λTn)/n是等差数列,我们计算一下就知道只需要 (1-1/2^n)系数为0即可
而合并后为1/2*(n-3)+(3-3λ/2)*(1-1/2^n)/n
前项显示是等差数列,当后面的系数为0时,λ=2,整个式子肯定是等差数列.

(1)∵2a（n+1）-an=n
∴a（n+1）=1/2(an+n) a(n-1)=2an-n+1
∴bn/b(n-1)=[a(n+1)-an-1]/[an-a(n-1)-1]
=[1/2(an+n)-an-1]/[an-(2an-n+1)-1]=(省略化简步骤）=1/2
∴bn是以1/2为等比的等比数列