已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.（1）求∠MCN的度数 （2）猜想：线段BM、DN与MN之间的数量关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 09:10:47
已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.（1）求∠MCN的度数 （2）猜想：线段BM、DN与MN之间的数量关系
已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.
（1）求∠MCN的度数 （2）猜想：线段BM、DN与MN之间的数量关系
已知,如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45度,连接MC、MN、NC.（1）求∠MCN的度数 （2）猜想：线段BM、DN与MN之间的数量关系
（1）∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵BM,DN分别平分正方形的两个外角,
∴∠CBM=∠CDN=45°,
∴∠ABM=∠ADN=135°,
∵∠MAN=45°,
∴∠BMA=∠NAD,
∴△ABM∽△NDA,
∴BMAD=
ABND
∴BM•DN=a2．
由上有△ABM∽△NDA可得BM：DA=AB：ND．
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DC,DA=BC,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°．
∴BM：BC=DC：ND．
∵BM,DN分别平分正方形ABCD的两个外角,
∴∠CBM=∠NDC=45°．
∴△BCM∽△DNC．
∴∠BCM=∠DNC．
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-（∠DNC+∠DCN）=270°-（180°-∠CDN）=135°．
（2）线段BM,DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2=MN2．
证明：：如图,将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF．则
△ABF≌△ADN．
∴∠1=∠3,AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND．
∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAF=∠MAN．
又∵AM=AM,
∴△AMF≌△AMN．
∴MF=MN．
可得∠MBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BMF中,BM2+BF2=FM2．
∴BM2+DN2=MN2．