边长为2的正方形ABCD中∠MAN的两边分辨交BC、CD边于M、N两点,且∠MAN=45°,①求证:MN=BM+DN

边长为2的正方形ABCD中∠MAN的两边分辨交BC、CD边于M、N两点,且∠MAN=45°,①求证:MN=BM+DN
边长为2的正方形ABCD中∠MAN的两边分辨交BC、CD边于M、N两点,且∠MAN=45°,①求证:MN=BM+DN

边长为2的正方形ABCD中∠MAN的两边分辨交BC、CD边于M、N两点,且∠MAN=45°,①求证:MN=BM+DN
证明
∵ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠D=90º
在∠MAN中作∠MAE=∠MAB,并使AE=AB,连接ME,NE
∵AB=AE,∠MAE=∠MAB,AM=AM
∴⊿ABM≌⊿AEM（SAS）
∴BM=EM,∠AEM=∠B=90º
∵∠MAE+∠NAE=∠MAN=45º
则∠MAB+∠NAD=∠BAD-∠MAN=45º
∴∠NAE=∠NAD
又∵AD=AB=AE,AN=AN
∴⊿AEN≌⊿ADN（SAS）
∴DN=EN,∠AEN=∠D=90º
∵∠AEM+∠AEN=180º
∴M,E,N在同一直线上,即E在MN上
∴MN=EM+EM=BM+DN