如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且PA=PB=PC=PD,E为PC中点(1)求证面PBD⊥面PAC (2)若PA=2AD,求二面角A-PB-C的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/28 03:00:03
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且PA=PB=PC=PD,E为PC中点(1)求证面PBD⊥面PAC (2)若PA=2AD,求二面角A-PB-C的余弦值
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且PA=PB=PC=PD,E为PC中点
(1)求证面PBD⊥面PAC
(2)若PA=2AD,求二面角A-PB-C的余弦值
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且PA=PB=PC=PD,E为PC中点(1)求证面PBD⊥面PAC (2)若PA=2AD,求二面角A-PB-C的余弦值
(1)连接AC,与BD交点为O.连接PO
因为O为BD,AC中点,PA=PB=PC=PD,得出PO⊥BD,PO⊥AC
由于AC,BD相交且在平面ABCD上,所以PO⊥面ABCD.得出AC⊥PO因为AC⊥BD(正方形)
所以AC⊥面PBD,AC在面PAC上,所以面PAC⊥面PBD
(2)过A点向PB做垂线,垂足为G,连接GC
因为AC⊥面PBD,所以AC⊥PB.因为PB⊥AG,所以PB⊥面ACG,所以PB⊥CG
求∠AGC就是2面角.
∠AGC可以通过求每条边的长度来求得.
连接AC交BD与H,连接PH
∵底面ABCD是正方形,∴BD⊥AC,且H为BD中点
∵在△PBD中,PD=PB,H为中点,∴PH⊥BD
∴BD⊥面PAC
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⑴证明:取ABCD的中心为O点,连接OP,AC
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∵PA=PC又O点是AC的中点
∴PO⊥AC
∵BD∩PO=O又AC∈面PAC
∴面PBD⊥面PAC
⑵设正方形的边长为a,则PB=2a.
分别作△PAB的高PE,AF交AB,PB于点E,F,垂足为E,F
由勾...
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完整地为你解答一下!
⑴证明:取ABCD的中心为O点,连接OP,AC
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∵PA=PC又O点是AC的中点
∴PO⊥AC
∵BD∩PO=O又AC∈面PAC
∴面PBD⊥面PAC
⑵设正方形的边长为a,则PB=2a.
分别作△PAB的高PE,AF交AB,PB于点E,F,垂足为E,F
由勾股定理得,PE=√(PB²-BE²)=√15a/2
∵△PAB的面积=AB*PE/2=PB*AF/2
∴AF=√15a/4
即CF=AF=√15a/4
又AC=√(AB²+BC²)=√2a(至此,△AFC的三边长都求出来了。)
cos ∠AFC=(AF²+CF²-AC²)/2AF*CF=-1/15
故二面角A-PB-C的余弦值是-1/15。
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