求满足方程(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy的全部整数对.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 16:36:32
求满足方程(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy的全部整数对.
求满足方程(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy的全部整数对.
求满足方程(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy的全部整数对.
x+y只能为整数.
(1)若x+y>=4,则 2xy = (x^2 + y^2)(x+y-3) > 0,
只能x>0,y>0.
此时,若x+y>4,则(x^2 + y^2)(x+y-3) > x^2 + y^2 >= 2xy,原方程无整数解.
只能x+y=4,此时2xy=x^2+y^2,0 = (x-y)^2 ,x=y=2.
因此,x+y>=4时,x=y=2是一组整数解.
(2)0= 2|xy| = -2xy,原方程无整数解.
只能,x+y=2,此时2xy=-(x^2+y^2),0 = (x+y)^2与 4 = 2^2 = (x+y)^2矛盾.
因此,0= 2|xy| = -2xy,原方程无整数解.
综合,有,原方程的整数解为,
x=y=2,
x=y=0,
x=0,y=3,
x=3,y=0.
一共4组.
我的步骤是，先画函数图象，可以从表达式观察到x，y完全是对称的 然后根据大致的范围猜测出一个比较保险的范围70 plot3d ((u^2+v^2)*(u+v-3)-2*u*v, [u, -70, 70], [v, -70, 70])$ 然后用c语言遍历得到
x=0 y=0时满足条件
x y不同时为0时 由于 x²+y²≥|2xy|
所以 |x+y-3|=|2xy|/(x²+y²)≤1
所以 x+y-3=0或±1
x+y-3=0时，根据原方程 得 2xy=0 即 x=0 y=3 或y=0 x=3
x+y-3=1时 x²+y&#...
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x=0 y=0时满足条件
x y不同时为0时 由于 x²+y²≥|2xy|
所以 |x+y-3|=|2xy|/(x²+y²)≤1
所以 x+y-3=0或±1
x+y-3=0时，根据原方程 得 2xy=0 即 x=0 y=3 或y=0 x=3
x+y-3=1时 x²+y²=2xy 得 x=y=2
x+y-3=-1时 x²+y²=-2xy 此时无解
所以 满足方程的全部整数对为 (0,0) (0,3) (3,0) (2,2)
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