已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；(2)求f(x)的极值

已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；(2)求f(x)的极值
已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；
(2)求f(x)的极值

已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；(2)求f(x)的极值
【第一题】
设x1,x2∈[1,e],且满足x2＞x1,
而a=1
则,f(x2) - f(x1) = (1-1/2)[(x2)² - (x1)² ] + (ln x2 -ln x1)
= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)
根据对数函数y=lnx的性质可知,原函数f(x)的定义域为 x＞0
即,x2＞x1＞0,即x2 /x1＞1
∴(x2+ x1)(x2 - x1)＞0,ln(x2 /x1)＞ln1＞0
∴ f(x2) - f(x1)= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)＞0
即,f(x2) ＞ f(x1)
∴f(x)在区间[1,e]上单调递增,
而,f(1) = (1/2)*1 + ln1 = 1/2 ,f(e)= (1/2)*e² + lne = (1/2)e² + 1
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e) =(1/2)e² + 1,最小值为 f(1) = 1/2
【第二题】
由原函数f(x)得,导函数f'(x) = 2(a-1/2)x + (1/x),其中 a∈R,x＞0
化简得,f'(x) = (1/x)【(2a-1)x² + 1】
令 f'(x) = 0,
化简得,x² = 1 /(1 -2a)
①假设1 - 2a＞0,即a＜1/2,方程f'(x) = 0的解是 x=1/√(1-2a)
代入原函数,f[1/√(1-2a)] = (a-1/2)/(1-2a)+ ln[1/√(1-2a)] = - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)
当x＞1/√(1-2a)时,x² ＞1 /(1 -2a) ∴(2a-1)x² + 1＞0,
又1/x＞0 ∴f'(x)＞0
即,x＞1/√(1-2a)时,原函数f(x)单调递增.
同理,当0＜x＜1/√(1-2a)时,(2a-1)x² + 1＜0,1/x＞0,则f'(x)＜0
即,x＜1/√(1-2a)时,原函数f(x)单调递减.
∴a＜1/2时,原函数f(x)在 x = 1/√(1-2a) 处取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)
②假设1 - 2a = 0,即a=1/2,则方程f'(x) = 0的解是 x=0,但这与x＞0矛盾,故f'(x) ≠ 0
即,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
③假设1 - 2a ＜ 0,即a＞1/2,则方程f'(x) = 0无实解,即f'(x) ≠ 0
换言之,
a＞1/2时,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.
综上所述,当a＜1/2时,原函数f(x)在x=1/√(1-2a)时取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a),
当a ≥ 1/2时,原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值.