如果（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²=4(ab+bc+cd). 如何证明a=b=c=d

如果（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²=4(ab+bc+cd). 如何证明a=b=c=d
如果（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²=4(ab+bc+cd). 如何证明a=b=c=d

如果（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²=4(ab+bc+cd). 如何证明a=b=c=d
[(a+b)²-4ab]+[(b+c)²-4bc]+[(c+d)²-4cd]=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²=0
a-b=0
b-c=0
c-d=0
a=b=c=d

左边打开后，右边再移到左边去，配方得（a-b)²+（b-c)²+（c-d)²=0，故a=b=c

∵（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²=4(ab+bc+cd)
∴（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²-4(ab+bc+cd)=0
（a+b)²= a²+2ab+b²
（b+c)²= b²+2bc+c²
（c+d)²= c&...

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∵（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²=4(ab+bc+cd)
∴（a+b)²+（b+c)²+（c+d)²-4(ab+bc+cd)=0
（a+b)²= a²+2ab+b²
（b+c)²= b²+2bc+c²
（c+d)²= c²+2cd+d²
则（a-b)²+（b-c)²+（c-d)²=0
要使（a-b)²+（b-c)²+（c-d)²=0
则a-b=0，b-c=0，c-d=0
则a=b=c=d

收起

右边的移到左边，得到
[(a+b)²-4ab]+[(b+c)²-4bc]+[(c+d)²-4cd]=0
即(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²=0
因左边的都是平方，最小数是0，
所以，
a-b=0
b-c=0
c-d=0
a=b=c=d

(a＋b)²＋(b＋c)²＋(c＋d)²＝4(ab＋bc＋cd)
a²＋2ab＋b²＋b²＋2bc＋c²＋c²＋2cd＋d²＝4ab＋4bc＋4cd
a²＋b²＋b²＋c²＋c²＋d²＝2ab＋2bc＋2cd
a²＋...

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(a＋b)²＋(b＋c)²＋(c＋d)²＝4(ab＋bc＋cd)
a²＋2ab＋b²＋b²＋2bc＋c²＋c²＋2cd＋d²＝4ab＋4bc＋4cd
a²＋b²＋b²＋c²＋c²＋d²＝2ab＋2bc＋2cd
a²＋b²＋b²＋c²＋c²＋d²－2ab－2bc－2cd＝0
(a－b)²＋(b－c)²＋(c－d)²＝0
a－b＝0 b－c＝0 c－d＝0
a＝b b＝c c＝d
a＝b＝c＝d

收起

等式左边按照完全平方公式展开，然后减去右边的，之后结果就是（a-b)²+（b-c)²+（c-d)²=0
所以a=b=c。