已知实数ab满足(√(a²-2a+2)+a-1)(√(b²-4b+8)+b-2)=2,求（a²+b²）min=?老师说设a=tanα,b=2tanβ

已知实数ab满足(√(a²-2a+2)+a-1)(√(b²-4b+8)+b-2)=2,求（a²+b²）min=?老师说设a=tanα,b=2tanβ
已知实数ab满足(√(a²-2a+2)+a-1)(√(b²-4b+8)+b-2)=2,求（a²+b²）min=?
老师说设a=tanα,b=2tanβ

已知实数ab满足(√(a²-2a+2)+a-1)(√(b²-4b+8)+b-2)=2,求（a²+b²）min=?老师说设a=tanα,b=2tanβ
(√(a²-2a+2)+a-1)(√(b²-4b+8)+b-2)=2
那么[√((a-1)^2+1)+a-1]*[√((b-2)^2+4)+b-2]=2
设x=a-1, y=b-2
那么[√(x^2+1)+x]*[√(y^2+4)+y]=2 --------------------------------1
因为[√(x^2+1)+x]*[√(x^2+1)-x]=1
[√(y^2+4)+y]*[√(y^2+4)-y]=4
所以[√(x^2+1)+x]=1/[√(x^2+1)-x]
[√(y^2+4)+y]=4/[√(y^2+4)-y]
带入1式,化简后得到
[√(x^2+1)-x]*[√(y^2+4)-y]=2 -------------------------------------2
1式和2式展开后,相减得到
y√(x^2+1)+x√(y^2+4)=0
那么x和y异号,
且y√(x^2+1)= -x√(y^2+4)
两边平方后得到y^2=4x^2
所以y= -2x
a^2+b^2=(x+1)^2+(y+2)^2=(x+1)^2+4(x-1)^2=5x^2-6x+5=5(x-3/5)^2+16/5
>=16/5
所以(a^2+b^2)min=16/5