倾斜角为 ∏/4的直线交椭圆 x^2/4+y^2=1 于A B两点,则线段AB中点M的轨迹方程?

倾斜角为 ∏/4的直线交椭圆 x^2/4+y^2=1 于A B两点,则线段AB中点M的轨迹方程?
倾斜角为 ∏/4的直线交椭圆 x^2/4+y^2=1 于A B两点,则线段AB中点M的轨迹方程?

倾斜角为 ∏/4的直线交椭圆 x^2/4+y^2=1 于A B两点,则线段AB中点M的轨迹方程?
点差法
设A（x1,y1）B(x2,y2),M(x,y)
x1^2/4+y1^2=1
x2^2/4+y2^2=1
x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
kAB=(y1-y2)/(x1-x2)=tan∏/4=1
前两式做差：(x1-x2)(x1+x2)/4+(y1-y2)(y1+y2)=0
(x1-x2)(x1+x2)=-4(y1-y2)(y1+y2)
－4(y1-y2)/(x1-x2)=（x1+x2）/(y1+y2)
-4=2x/2y
所以
y=-x/4（－2

y=x+b,y=-x+b
x^2+4y^2=4
建立方程组，
y^2-2yb+b^2+4y^2-4=0
5y^2-2yb+b^2-4=0
y1+y2=-B/A=2b/5【韦达定理，符号冲突哈】
(y1+y2)/2=b/5
(x1+x2)/2=(y1+y2)/2-b=-4b/5,或者，(x1+x2)/2=4b/5
令（x1+x2)/2=...

全部展开

y=x+b,y=-x+b
x^2+4y^2=4
建立方程组，
y^2-2yb+b^2+4y^2-4=0
5y^2-2yb+b^2-4=0
y1+y2=-B/A=2b/5【韦达定理，符号冲突哈】
(y1+y2)/2=b/5
(x1+x2)/2=(y1+y2)/2-b=-4b/5,或者，(x1+x2)/2=4b/5
令（x1+x2)/2=x,y1/2+y2/2=y
y/x=±4，此即AB中点轨迹方程
【尽管假设之前并没有考虑直线是否与椭圆相交等，但因最后于b无关，所以，可以认为是在有交点存在下b的情况计算的】

收起

设直线的解析式为y=x+b（-2设直线与椭圆交点A坐标(x1,y1)，交点B坐标为(x2,y2)，
则AB中点M的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2),
直线与椭圆联立方程组（不用教吧），代入得5x^2/4+2bx+b^2-1=0
由根与系数的关系得x1+x2=-8b/5,
∴(x1+x2)/2=-4b/5
∴(y1+y2)...

全部展开

设直线的解析式为y=x+b（-2设直线与椭圆交点A坐标(x1,y1)，交点B坐标为(x2,y2)，
则AB中点M的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2),
直线与椭圆联立方程组（不用教吧），代入得5x^2/4+2bx+b^2-1=0
由根与系数的关系得x1+x2=-8b/5,
∴(x1+x2)/2=-4b/5
∴(y1+y2)/2=(x1+b+x2+b)/2=-b/5
∴中点M的轨迹是直线，解析式为y=(-1/4)x

收起