已知椭圆C:X²+Y²/4=1过点M(0,1)的直线L于椭圆C相交于A,B两点若L与x轴相交于点p,且p为AM中点求L的方程已知N(0,1/2)求向量NA+向量NB的最大值?

已知椭圆C:X²+Y²/4=1过点M(0,1)的直线L于椭圆C相交于A,B两点若L与x轴相交于点p,且p为AM中点求L的方程已知N(0,1/2)求向量NA+向量NB的最大值?
已知椭圆C:X²+Y²/4=1过点M(0,1)的直线L于椭圆C相交于A,B两点若L与x轴相交于点p,且p为AM中点求L的方程已知N(0,1/2)求向量NA+向量NB的最大值?

已知椭圆C:X²+Y²/4=1过点M(0,1)的直线L于椭圆C相交于A,B两点若L与x轴相交于点p,且p为AM中点求L的方程已知N(0,1/2)求向量NA+向量NB的最大值?
答：
请参考：
(1)x^2 +y^2/4=1
l:有斜率时 y=kx+1
l与X轴交点p(-1/k,0) ,设A（x1,y1)
若p为AM中点 则：
x1=-2/k,y1+1=0,y1=-1
将A（-2/k,-1)代入
x^2 +y^2/4=1
得：4/k^2+1/4=1,k^2=16/3
k=±4√3/3
l:y=±4√3/3 x+1
(2)l 斜率不存在时
|向量NA+向量NB|=1
l斜率存在时
l:y=kx+1与 x^2 +y^2/4=1联立消去y
得：4x^2+（kx+1)^2-4=0
(4+k^2)x^2+2kx-3=0
Δ>0成立
A(x1,y1),B(x2,y2) AB中点为M（x',y')
x1+x2=-2k/(4+k^2) x1x2=-3/(4+k^2)
x'=(x1+x2)/2=-k/(4+k^2)
y'=kx'+1=4/(k^2+4)
向量NA+向量NB
=2向量NM
=2(-k/(4+k^2),4/(k^2+4)-1/2)
=(-2k/(4+k^2),(4-K^2)/(4+K^2))
|向量NA+向量NB|^2
=4K^2/(4+K^2)^2+,(4-K^2)^2/(4+K^2)^2
=[(4K^2+,(4-K^2)^2]/(4+K^2)^2
=(K^4-4K^2+16)/(K^2+4)^2
=[(K^2+4)^2-12K^2]/(K^2+4)^2
=1-12K^2/(K^2+4)^2
∵12K^2/(K^2+4)^2≥0
∴1-12K^2/(K^2+4)^2≤1
k=0时取等号.
综上所述,|向量NA+向量NB|的最大值为1