已知x,y,z为正整数,且满足x³-y³-z³=3xyz,x²=2(y+z),求xy+yz+zx的值

已知x,y,z为正整数,且满足x³-y³-z³=3xyz,x²=2(y+z),求xy+yz+zx的值
已知x,y,z为正整数,且满足x³-y³-z³=3xyz,x²=2(y+z),求xy+yz+zx的值

已知x,y,z为正整数,且满足x³-y³-z³=3xyz,x²=2(y+z),求xy+yz+zx的值
因为x,y,z是正整数
所以,
x^3-y^3-z^3=3xyz＞0
故有,x^3＞y^3；且x^3＞z^3
即,x＞y且x＞z
同理有,x^2=2(y+z)＜2(x+x)=4x
所以,正整数 x＜4
且由x^2=2(y+z)可知x是偶数
所以,只有x=2
又因为x＞y且x＞z且均为正整数
所以只有y=z=1
代入两方程检验可知均成立,可知x=2,y=1,z=1就是唯一符合要求的正整数.
故有,xy+yz+zx=2*1+1*1+1*2=5