集合A={a+根号2b|a,b∈Q},Q表示有理数集.如果x1,x2∈A,求证x1+x2∈A,x1*x2∈A

集合A={a+根号2b|a,b∈Q},Q表示有理数集.如果x1,x2∈A,求证x1+x2∈A,x1*x2∈A
集合A={a+根号2b|a,b∈Q},Q表示有理数集.如果x1,x2∈A,求证x1+x2∈A,x1*x2∈A

集合A={a+根号2b|a,b∈Q},Q表示有理数集.如果x1,x2∈A,求证x1+x2∈A,x1*x2∈A
因为 x1、x2 属于 A ,
所以存在有理数 a1、b1、a2、b2 使 x1=a1+√2*b1 ,x2=a2+√2*b2 ,
那么 x1+x2=(a1+a2)+√2*(b1+b2) ,由于 a1+a2、b1+b2 是有理数,因此 x1+x2∈ A ；
由 x1*x2=(a1+√2b1)(a2+√2b2)=(a1a2+2b1b2)+√2(a1b2+a2b1) ,
且 a1a2+2b1b2 、a1b2+a2b1 都是有理数,所以 x1*x2∈A .

x1,x2∈A，
可设x1=a+b√2，x2=c+d√2，
其中a,b,c,d∈Q,则
x1+x2=（a+c)+(b+d)√2，
a+c,b+d∈Q,
∴x1+x2∈A;
x1x2=(ac+2bd)+(ad+bc)√2，
ac+2bd，ad+bc∈Q,
∴x1x2∈A.