已知 :三角形ABC的边长为a.b.c,它的三条中位线组成一个新三角形,这个新三角形的中位线又组成一个小三角求 :小三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 19:53:37
已知 :三角形ABC的边长为a.b.c,它的三条中位线组成一个新三角形,这个新三角形的中位线又组成一个小三角求 :小三角形
已知 :三角形ABC的边长为a.b.c,它的三条中位线组成一个新三角形,这个新三角形的中位线又组成一个小三角
求 :小三角形
已知 :三角形ABC的边长为a.b.c,它的三条中位线组成一个新三角形,这个新三角形的中位线又组成一个小三角求 :小三角形
小三角形的边长分别是：（3/4）a、（3/4）b、（3/4）c.
证明如下：
令△ABC的三条中线分别为：AD、BE、CF.
以CE、CF为邻边作平行四边形CEGF,∴EG＝CF、FG＝CE、FG∥EA.
∵CE＝EA、FG＝CE,∴FG＝EA,又FG∥EA,∴AGFE是平行四边形,
∴FE＝GA、FE∥GA.
∵AF＝BF、AE＝CE,∴FE是△ABC的中位线,∴FE＝BC/2、FE∥BD.
∵BD＝CD,∴BD＝BC/2,结合FE＝BC/2,得：FE＝BD,再结合证得的FE＝GA,
得：GA＝BD.
∵FE∥GA、FE∥BD,∴GA∥BD,结合证得的GA＝BD,得：ADBG是平行四边形,
∴GB＝AD.
由EG＝CF、GB＝AD,得：△BEG是由AD、BE、CF组成的三角形.
令AB与EG的交点为P、延长EF交BG于Q、延长GF交BE于R.
∵AGFE是平行四边形,∴EP＝GP,∴BP是△BEG的一条中线.
∵FE∥GA,∴QF∥GA,又AF＝BF,∴BQ＝GQ,∴EQ是△BEG的另一条中线.
∵F是BP、EQ的交点,∴F是△BEG的重心,∴GR是△BEG的第三条中线.
∵F是△BEG的重心,∴容易求出：BP＝（3/2）BF、EQ＝（3/2）EF、GR＝（3/2）FG.
而BF＝（1/2）AB、EF＝（1/2）BC、FG＝EA＝（1/2）AC,
∴BP＝（3/2）BF＝（3/2）×（1/2）AB＝（3/4）AB＝（3/4）c,
EQ＝（3/2）EF＝（3/2）×（1/2）BC＝（3/4）BC＝（3/4）a,
GR＝（3/2）FG＝（3/2）×（1/2）AC＝（3/4）AC＝（3/4）b.
∴小三角形的边长分别是：（3/4）a、（3/4）b、（3/4）c.