数列An=3n,Bn=3^(n-1),求An/B(n+2)的前n项和Tn

数列An=3n,Bn=3^(n-1),求An/B(n+2)的前n项和Tn
数列An=3n,Bn=3^(n-1),求An/B(n+2)的前n项和Tn

数列An=3n,Bn=3^(n-1),求An/B(n+2)的前n项和Tn
你好

解

B(n+2)=3^(n+1)
An/B(n+2)=3n/3^(n+1)=n/3^n
Tn=1/3+2/9+3/27+4/81+...+n/3^n （1）
3Tn=1+2/3+3/9+4/27+...+n/3^（n-1） （2）
（2）-（1）得
2Tn=1+1/3+1/9+1/27+...+1/3^（n-1）-n/3^n
=1*（1-1/3^n）/（1-1/3）-n/3^n
=3/2*（1-1/3^n）-n/3^n
Tn=3/4（1-1/3^n）-n/3^n

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设bn＝An/B(n＋2)＝(3n)/3＾(n＋1)
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3/3²＋6/3³＋…＋(3n)/3＾(n＋1)①
(1/3)Tn＝3/3³＋6/3＾4＋…＋(3n－3)/3＾(n＋1)＋(3n)/3＾(n＋2)②
①－②得
(2/3)Tn＝3/3²＋3[1/3³＋1/3＾4＋1/3＾(n...

全部展开

设bn＝An/B(n＋2)＝(3n)/3＾(n＋1)
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3/3²＋6/3³＋…＋(3n)/3＾(n＋1)①
(1/3)Tn＝3/3³＋6/3＾4＋…＋(3n－3)/3＾(n＋1)＋(3n)/3＾(n＋2)②
①－②得
(2/3)Tn＝3/3²＋3[1/3³＋1/3＾4＋1/3＾(n＋1)]－(3n)/3＾(n＋2)
＝1/3＋3{1/3³[1－1/3＾(n－1)]}/(1－1/3)－(3n)/3＾(n＋2)
＝2/3－1/3＾(n－3)－(3n)/3＾(n＋2)③
③×3/2得
Tn＝1－(81＋n)/(2×3＾n)

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tn=an/b(n+2)=3n/3^(n+1)=n/3^n
Sn=1/3+2/3^2+...+n/3^n
=(1/3^n+...+1/3)+(1/3^n+...+1/3^2)+...+(1/3^n)
=(1/3^n)(3^n-1)/(3-1)+(1/3^n)(3^(n-1)-1)/(3-1)+...+(1/3^n)(3^1-1)/(3-1)
=1/(2*3^n)*(...

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tn=an/b(n+2)=3n/3^(n+1)=n/3^n
Sn=1/3+2/3^2+...+n/3^n
=(1/3^n+...+1/3)+(1/3^n+...+1/3^2)+...+(1/3^n)
=(1/3^n)(3^n-1)/(3-1)+(1/3^n)(3^(n-1)-1)/(3-1)+...+(1/3^n)(3^1-1)/(3-1)
=1/(2*3^n)*(3^n+3^(n-1)+...+3^1-n)
=(3(3^n-1)/(3-1)-n)/(2*3^n)
=3/4-3/(4*3^n)-n/(2*3^n)
可带入验证S1=1/3 S2=5/9 均是满足的

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