如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠CBA,DE⊥AB于E,求证：AD+DE=BE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 11:14:18
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠CBA,DE⊥AB于E,求证：AD+DE=BE
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠CBA,DE⊥AB于E,求证：AD+DE=BE
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠CBA,DE⊥AB于E,求证：AD+DE=BE
由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB,再根据全等三角形的对应边相等得出结论．证明：∵BD平分∠CBA（已知）,
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知）,
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知）,
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中,
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC,BE=BC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知）,
∴AD+DE=BE（等量代换）．
点评：本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键．
由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中
，
∴△DEB≌△DCB...
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由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中
，
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC，BE=BC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知），
∴AD+DE=BE（等量代换）．
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由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中
，
∴△DEB≌△DCB...
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由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB，再根据全等三角形的对应边相等得出结论．证明：∵BD平分∠CBA（已知），
∴∠EBD=∠CBD（角平分线的定义）．
∵DE⊥AB（已知），
∴∠DEB=90°（垂直的定义）．
∵∠C=90°（已知），
∴∠DEB=∠C（等量代换）．
在△DEB和△DCB中
，
∴△DEB≌△DCB（AAS）．
∴DE=DC，BE=BC（全等三角形的对应边相等）．
∵AD+DC=AC=BC（已知），
∴AD+DE=BE（等量代换）．点评：本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键．
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