如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 05:39:51
如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
（1）解法一：如图1
过A作AE⊥CD,垂足为E．
依题意,DE=$\frac{9-4}{2}$=$\frac{5}{2}$．
在Rt△ADE中,AD=$\frac{DE}{cos60°}$=$\frac{5}{2}×2=5$．
解法二：如图2
过点A作AE‖BC交CD于点E,则CE=AB=4．
∠AED=∠C=60度．
又∵∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形．
∴AD=DE=9-4=5．
（2）如图1
∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,
△PDQ的面积S可表示为：
S=$\frac{1}{2}$PD•h=$\frac{1}{2}$（9-x）•x•sin60°
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（9x-x2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{9}{2}$）2+$\frac{81\sqrt{3}}{16}$．
由题意,知0≤x≤5．
当x=$\frac{9}{2}$时（满足0≤x≤5）,S最大值=$\frac{81\sqrt{3}}{16}$．
（3）如图4
存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ．
于是9-x=x,x=$\frac{9}{2}$．
此时,点P、Q的位置如图25-4所示,△PDQ恰为等边三角形．
过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连接PM、QM,则DM垂直平分PQ,∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ‖BC．
又∵DO⊥PQ,
∴MC⊥MD
∴MP=$\frac{1}{2}$CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$．