平行四边形ABCD,∠B=60°,对角线AC⊥AB,点E在射线CB上移动,点F在射线DC上移动,且∠EAF=60°,问AD,2BE与DF的关系?

平行四边形ABCD,∠B=60°,对角线AC⊥AB,点E在射线CB上移动,点F在射线DC上移动,且∠EAF=60°,问AD,2BE与DF的关系?
平行四边形ABCD,∠B=60°,对角线AC⊥AB,点E在射线CB上移动,点F在射线DC上移动,且∠EAF=60°,问AD,2BE与DF的关系?

平行四边形ABCD,∠B=60°,对角线AC⊥AB,点E在射线CB上移动,点F在射线DC上移动,且∠EAF=60°,问AD,2BE与DF的关系?
根据题意得：AD=BC=2AB=2DC(证明简单略)
作垂线AG交BC于G .角GAC=60度
实际上,角EAF是角GAC移动形成的!（G移到E,C移到F）这是关键!
三角形相似三角形（角CAF=角GAE 等量减等量差相等,具体证明略）
AC:AG=CF:GE=2:1(在直角三角形AGC中,AC与AG是斜边与直角边的关系具体证明略)
CF:GE=2:1(CF GE 用相关边替代)
GE=BE-BG=BE-1/4AD CF=CD-DF=1/2AD-DF 代入得：
AD=2BE+DF.
说明：E点移出BC中点,结论有变化,但证明方法雷同.

当E在线段CB上时，AD = 2 BE + DF；
当E在CB的延长线上时，AD = -2 BE + DF。

如图所示

因为∠B=60°，对角线AC⊥AB

所以AD=2AB

因为点F在射线DC上移

所以AB平行DF，三角形ABO相识于三角形OCF

所以OC/OB=CF/AB,等式化为

所以等式化为CF/AB=(2AB-OB)/OB=2AB^2/OB-1

即DF=CF+AB=2AB^2/OB  (1式)

因为角OAE=角ABO，角AOE=角AOB

所以三角形ABO相识于三角形AOE

所以可得AO^2=OB*OE (2式)

在三角形AOB中有余弦定理可得

AO^2=OB^2+AB^2-OB*AB

由（2式）可得

所以OB*OE=OB^2+AB^2-OB*AB

化为OB（OB+EB）=OB^2+AB^2-OB*AB

所以OB*EB=AB^2-OB*AB

所以AB^2/OB=EB+AB 代入（1式）

可得DF=CF+AB=2AB^2/OB

      = 2（EB+AB）

      =2EB+2AB 

      =2EB+AD