如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD.(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.第一问可以不回答
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/16 20:30:54
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD.(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.第一问可以不回答
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD.(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.
第一问可以不回答
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD.(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.第一问可以不回答
第一个问题:
∵PD⊥平面ABCD,∴AD⊥PD.
∵∠BAD=60°、AB=2AD,∴AD⊥BD.
由AD⊥PD、AD⊥BD、PD∩BD-D,得:AD⊥平面ABD,∴AD⊥BD.
第二个问题:
∵PD=AD=1,∴AB=2.
∵∠BAD=60°、AD⊥BD、AD=1,∴BD=√3.
∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BD,∴PB=√(PD^2+BD^2)=√(1+3)=2.
∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC、AD∥BC,而AD⊥BD,∴BC⊥BD,
∴△PBC的面积=(1/2)PB×BC=(1/2)×2×1=1.
又△BCD的面积=(1/2)BD×BC=(1/2)×√3×1=√3/2.
令棱锥D-PBC的高为h,则由D-PBC的体积=A-BCD的体积,得:
(1/3)△PBC的面积×h=(1/3)△BCD的面积×PD,
∴h=(√3/2)×1=√3/2.
即:棱锥D-PBC的高为√3/2.
(Ⅰ)因为, 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2,故BDAD
又PD底面ABCD,可得BDPD
所以BD平面PAD. 故 PABD