已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC是AE平分角BAD交DC于E
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 15:13:41
已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC是AE平分角BAD交DC于E
已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC
是AE平分角BAD交DC于E
已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC是AE平分角BAD交DC于E
AB=DG+FC
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AD=BC,AB∥DC,AD∥BC,
∴∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射线DA方向平移,平移距离为AD,则DC与AB重合,记平移后的三角形为△ABH,则∠AHB=∠DFC=90°,∠ABH=∠C,AH=DF,HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°,
∴F,B,H三点共线,
∴BF+HB=BF+FC,
从而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°,AH⊥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°,则AD与AH重合,∠DAG=∠HAI,∠DGA=∠HIA,∠AHI=∠ADG=90°,
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°,
∴I,H,B三点共线．
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAG=∠DAG,
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF,
∴∠HAG=∠DGA,
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∴IB=IH+HB=DG+FC,
∴AB=DG+FC．
∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD 延长FD截取，DH=FC，连接AH ∵AD∥BC，DF⊥BC ∴∠ADH=∠DFC=90° ∵AD=DF ∴△ADH≌△DFC(SAS) ∴AH=CD，∠CDF=∠HAD ∴∠CDF=90°-∠BCD=∠HAD ∵AE平分∠BAD ∴∠DAG=1/2∠BAD=1/2∠BCD ∴∠HAG=∠HAD+∠DAG=90°-∠BCD+1/2∠BCD=90°-1/2∠BCD ∵∠HGA=∠DGA=90°-∠DAG=90°-1/2∠BCD ∴∠HAG=∠HGA ∴AH=GH=DH+DG=DG+FC ∴CD=DG+FC