已知如图,点P是正方形ABCD内一点,∠PAD=∠PDA=15°,求证△PBC是等边三角形.

已知如图,点P是正方形ABCD内一点,∠PAD=∠PDA=15°,求证△PBC是等边三角形.
已知如图,点P是正方形ABCD内一点,∠PAD=∠PDA=15°,求证△PBC是等边三角形.

已知如图,点P是正方形ABCD内一点,∠PAD=∠PDA=15°,求证△PBC是等边三角形.
用重合法.正方形ABCD内取一点Q 使△QBC是等边三角形.容易计算
∠QAD=∠QDA=15°,射线AQ,AP重合.射线DQ,DP重合.它们的交点Q与P重合,△PBC是等边三角形.

作PM⊥AD，PN⊥BC，
∵△BCP为等边三角形，∴∠PBC=60°，AB=BP，
∵正方形ABCD中∠ABC=90°，
∴∠ABP=30°∴∠BAP=75°，
∴∠DAP=15°，同理∠ADP=15°，
故∠APD=150°．
因为△BCP为等边三角形，所以M、N、P在一条直线上，
故MP=MN-PN，且MN=AB，
PN=32×...

全部展开

作PM⊥AD，PN⊥BC，
∵△BCP为等边三角形，∴∠PBC=60°，AB=BP，
∵正方形ABCD中∠ABC=90°，
∴∠ABP=30°∴∠BAP=75°，
∴∠DAP=15°，同理∠ADP=15°，
故∠APD=150°．
因为△BCP为等边三角形，所以M、N、P在一条直线上，
故MP=MN-PN，且MN=AB，
PN=32×4=2
3，
故PM=4-2
3，
S△APD=12×4×（4-2
3）=8-4
3．
故答案为 150°，8-4
3．

收起