如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:04:38
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”如

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ
求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是X轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ求证点P在X轴上运动(P不与O重合时),角ABQ为定值为什么“△APO≌△AQB总成立”
(1)过点B作BC⊥y轴于点C,
∵A(0,2),△AOB为等边三角形,
∴AB=OB=2,∠BAO=60°,
∴BC=根3 ,OC=AC=1,
即B(根3,1 );
(2)当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,不失一般性,
∵∠PAQ═∠OAB=60°,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO和△AQB中,
∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB
∴△APO≌△AQB总成立,
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,
∴当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°;
(3)由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行.
①当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,
此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即是梯形,
当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
又OB=OA=2,可求得BQ=根3 ,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=根3 ,
∴此时P的坐标为(-根3,0 ).
②当点P在x轴正半轴上时,点Q在B的上方,
此时,若AQ∥OB,四边形AOQB即是梯形,
当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°.
又AB=2,可求得BQ=2根3 ,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=2根3 ,
∴此时P的坐标为(2根3,0 ).
综上,P的坐标为(-根3,0 )或(2根3,0 ).

少条件,B点的位置没确定,是AOB为等边三角形吗?

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