数列求和常用公式证明数列求和常用公式:1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷22）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2 =n^2*(n+1)^2÷44） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷35） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+

数列求和常用公式证明数列求和常用公式:1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷22）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2 =n^2*(n+1)^2÷44） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷35） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+
数列求和常用公式证明
数列求和常用公式:
1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6） 1+3+6+10+15+.
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+.+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+.
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+.+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+.+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+.+1/1+2+3+...+n)
=2/2*3+2/3*4+2/4*5+.+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+.+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+.(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+.(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+.+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+.+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
15）1+2+2^2+2^3+.+2^n=2^(n+1) – 1

数列求和常用公式证明数列求和常用公式:1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷22）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2 =n^2*(n+1)^2÷44） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷35） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+
统一把他们的和记为Sn
1）Sn=1+2+3+.+n
=n+(n-1)+(n-2)+...+1
上下两个配对,为n个n+1,相加得 2Sn=n(n+1)
所以Sn=n(n+1)/2
2）n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以Sn=1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式在后面常用到
3）1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
所以Sn=1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
4）1×2+2×3+3×4+.+n(n+1)
=(1×1+1)+(2×2+2)+(3×3+3)+.(n×n+n)
=(1^2+2^2+3^2+.n^2)+(1+2+3+.n)
=n*(n+1)*(2*n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
5）1×2×3+2×3×4+3×4×5+.+n(n+1)(n+2)
=1/4（1×2×3×4-0×1×2×3）+1/4（2×3×4×5-1×2×3×4）+1/4（3×4×5×6-2×3×4×5）+.+
1/4（n(n+1)(n+2)（n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)）
=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)
这累啊 都没分的 加分再写