给定常数c＞0,定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1,a2,a3,…满足an+1=f（an）,n∈N*．（1）若a1=-c-2,求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*,an+1-an≥c；（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在

给定常数c＞0,定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1,a2,a3,…满足an+1=f（an）,n∈N*．（1）若a1=-c-2,求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*,an+1-an≥c；（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在
给定常数c＞0,定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1,a2,a3,…满足an+1=f（an）,n∈N*．
（1）若a1=-c-2,求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N*,an+1-an≥c；
（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1；若不存在,说明理由．

给定常数c＞0,定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1,a2,a3,…满足an+1=f（an）,n∈N*．（1）若a1=-c-2,求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*,an+1-an≥c；（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在
（1）a2=f（a1）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2,
a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=
x+c+8,x≥−c
3x+3c+8,−c−4≤x＜−c
−x−c−8,x＜−c−4
当an≥-c时,an+1-an=c+8＞c；
当-c-4≤an＜-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
当an＜-c-4时,an+1-an=-2an-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴对任意n∈N*,an+1-an≥c；
（3）由（2）及c＞0,得an+1≥an,即{an}为无穷递增数列．
又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n＞M时,an≥-c,从而an+1=f（an）=an+c+8,由于{an}为等差数列,
因此公差d=c+8．
①当a1＜-c-4时,则a2=f（a1）=-a1-c-8,
又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,从而a2=0,
当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0＞-c,
∴an+1=f（an）=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求；
②若-c-4≤a1＜-c,则a2=f（a1）=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,∴3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,应舍去；
③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8,从而{an}为无穷等差数列,符合要求．
综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c,+∞）．