题目(1):对函数f(x)=X^3,g(x)=X^2+1在区间[0,∏/2]上验证柯西中值定理的正确性.题目(2):应用拉格朗日微分中值定理证明下列不等式:当x>1时e^x>ex说明:X^3表示x的三次方..X^2表示x的二次方..e^X表示e的X
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 02:08:35
题目(1):对函数f(x)=X^3,g(x)=X^2+1在区间[0,∏/2]上验证柯西中值定理的正确性.题目(2):应用拉格朗日微分中值定理证明下列不等式:当x>1时e^x>ex说明:X^3表示x的三次方..X^2表示x的二次方..e^X表示e的X
题目(1):对函数f(x)=X^3,g(x)=X^2+1在区间[0,∏/2]上验证柯西中值定理的正确性.
题目(2):应用拉格朗日微分中值定理证明下列不等式:
当x>1时e^x>ex
说明:X^3表示x的三次方..
X^2表示x的二次方..
e^X表示e的X次方..
题目(1):对函数f(x)=X^3,g(x)=X^2+1在区间[0,∏/2]上验证柯西中值定理的正确性.题目(2):应用拉格朗日微分中值定理证明下列不等式:当x>1时e^x>ex说明:X^3表示x的三次方..X^2表示x的二次方..e^X表示e的X
[f(π/2)-f(0)]/[g(π/2)-g(0)]=(π/2)³/[(π/2)²+1-1]=π/2
f'(x)/g'(x)=3x²/(2x)=3x/2
令x=π/3
则[f(π/2)-f(0)]/[g(π/2)-g(0)]=π/2=f'(π/3)/g'(π/3)
且π/3属于[0,π/2]
这就验证了柯西中值定理的正确性～
令f(x)=e^x
当x>1时,根据拉格朗日中值定理,总存在一个a>1,使得
f(x)-f(1)=f'(a)(x-1)
即e^x-e=f'(a)(x-1)
因为f'(a)=e^a>e^1=e
所以e^x-e>e(x-1)
化简即得：e^x>ex
1. 设a=0,b=π/2
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=π/2=f'(ξ)/g'(ξ)=3ξ^2/2ξ=3ξ/2
得ξ=π/3,在所给区间中.
即ξ是存在的,柯西中值定理是正确的.
2.设f(x)=e^x-ex,则f'(x)=e^x-e
在x>1时,设b>a>1
[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=e^ξ-e>0 ...
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1. 设a=0,b=π/2
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=π/2=f'(ξ)/g'(ξ)=3ξ^2/2ξ=3ξ/2
得ξ=π/3,在所给区间中.
即ξ是存在的,柯西中值定理是正确的.
2.设f(x)=e^x-ex,则f'(x)=e^x-e
在x>1时,设b>a>1
[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=e^ξ-e>0 (a<ξ
所以f(x)=e^x-ex是增函数
e^x-ex>f(1)=0
e^x>ex
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