直线 x+y=a 与圆x^2+y ^2=1相交于A,B 两点,O 为坐标原点,若向量OA*OB=a,则a的值为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:02:19
直线 x+y=a 与圆x^2+y ^2=1相交于A,B 两点,O 为坐标原点,若向量OA*OB=a,则a的值为
直线 x+y=a 与圆x^2+y ^2=1相交于A,B 两点,O 为坐标原点,若向量OA*OB=a,则a的值为
直线 x+y=a 与圆x^2+y ^2=1相交于A,B 两点,O 为坐标原点,若向量OA*OB=a,则a的值为
直线与圆均关于直线y=x对称,则设A、B 两点(cosx,sinx)(sinx,cosx),得OA*OB=2sinx*cosx=a,
由点在x+y=a上得sinx+cosx=a,即a²=(sinx+cosx)²=2sinx*cosx+sin²x+cos²x=a+1,解得a=(1±√5)/2
提醒楼上,只会硬算是不行的,注意技巧
设A(x1,y1)，B(x2,y2)；则向量OA=(x1,y1)，向量OB=(x2,y2)；
向量OA*OB=x1x2+y1y2；
因为A,B在直线x+y=a上，
所以：y1=-x1+a；y2=-x2+a；
则：y1y2=(a-x1)(a-x2)=a²-a(x1+x2)+x1x2；
所以：向量OA*OB=2x1x2-a(x1+x2)+a²...
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设A(x1,y1)，B(x2,y2)；则向量OA=(x1,y1)，向量OB=(x2,y2)；
向量OA*OB=x1x2+y1y2；
因为A,B在直线x+y=a上，
所以：y1=-x1+a；y2=-x2+a；
则：y1y2=(a-x1)(a-x2)=a²-a(x1+x2)+x1x2；
所以：向量OA*OB=2x1x2-a(x1+x2)+a²；
x+y=a与x²+y²=1联列方程组；
消去y，得关于x的二次方程：2x²-2ax+a²-1=0；
由韦达定理：x1+x2=a，x1x2=(a²-1)/2；
所以：向量OA*OB=2x1x2-a(x1+x2)+a²
=a²-1-a²+a²
=a²-1
由题：向量OA*OB=a；
所以：a²-1=a；
a²-a-1=0
得：a=(1±√5)/2；
注：直线与圆锥曲线相交的题目：按条件列式，联列方程组，用韦达定理；这是一个经常使用的固定套路，要好好掌握哦。。。
希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！
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