求所有正整数对(a,b)使ab-a²+b+1整除ab+1

求所有正整数对(a,b)使ab-a²+b+1整除ab+1
求所有正整数对(a,b)使ab-a²+b+1整除ab+1

求所有正整数对(a,b)使ab-a²+b+1整除ab+1
(ab-a²+b+1)|(ab+1)
(ab+1)-(ab-a^2+b+1) = a^2 - b
如果a^2 - b = 0
那么对于任意的(t,t^2)给出全部ab-a^2+b+1 = ab+1的解
否则设b = a + k
ab-a^2+b+1=a^2+ak-a^2+a+k+1=ak+a+k+1=(a+1)(k+1)
ab+1 = a(a+k)+1 = a^2+ak+1
所以a+1 | a^2+ak+1
a^2+ak+1=(a+1)^2+a(k-2)
所以a+1 | a(k-2)
由于a和a+1互质,所以a+1 | k-2
所以k = 2
所以3(a+1) | (a+1)^2
所以3 | (a+1)
设a=3t-1
那么b = 3t-1+2=3t+1
所以满足条件的所有正整数为(t,t^2)和(3t-1,3t+1)

ab-a^2+b+1|ab+1
如果a=1, 2b|b+1, b=1
如果b=1, a-a^2+2|a+1, a^2-a-2=(a-2)(a+1)|a+1, a=3或者1

以下假设a>1, b>1
(ab-a^2+b+1, ab+1)=(a^2-b, ab+1)|(a^3b+b, a^3+1)=(a^3+1)*(b,1)=a^3+1
...

全部展开

ab-a^2+b+1|ab+1
如果a=1, 2b|b+1, b=1
如果b=1, a-a^2+2|a+1, a^2-a-2=(a-2)(a+1)|a+1, a=3或者1

以下假设a>1, b>1
(ab-a^2+b+1, ab+1)=(a^2-b, ab+1)|(a^3b+b, a^3+1)=(a^3+1)*(b,1)=a^3+1
所以a^2-ab-b-1|a^3+1 。。。。。。式一
a^3+1|ab+1 ==> ab+1>=a^3+1, b>=a^2
所以 ab+b-a^2+1>＝a^3+1，与式一结合分析，只能取等号，即b=a^2.
全部解如下：
（1,1）（3,1）（a, a^2), 其中a>1的任意整数

收起

ab-a^2+b+1 =b(a+1)-(a+1)(a-1)=(a+1)(b+1-a)
设b=a+k-1,则ab-a^2+b+1=(a+1)k,
(ab+1)-(ab-a^2+b+1) = a^2 – b=a^2-a+1-k=(a+1)(a-2)+3-k.
ab-a²+b+1|ab+1<==> ab-a²+b+1|a^2-b,①
∴a+1 | k-...

全部展开

ab-a^2+b+1 =b(a+1)-(a+1)(a-1)=(a+1)(b+1-a)
设b=a+k-1,则ab-a^2+b+1=(a+1)k,
(ab+1)-(ab-a^2+b+1) = a^2 – b=a^2-a+1-k=(a+1)(a-2)+3-k.
ab-a²+b+1|ab+1<==> ab-a²+b+1|a^2-b,①
∴a+1 | k-3，
设k=m(a+1)+3,则ab-a^2+b+1=（a+1)(ma+m+3),m∈N,a^2-b=(a+1)(a-2-m),
①<==>ma+m+3|a-2-m,②
m=a-2时②式成立，b=a-1+(a-2)(a+1)+3=a^2,
1<=ma-2-m,②不成立，∴m=0，3|a-2,a=3t-1,k=2,b=a+k=3t+1.
综上，（a,b)=(t,t^2),和（3t-1,3t+1),t∈N+.

收起