方程2x²+5xy+2y²=2007的所有不同的整数解

方程2x²+5xy+2y²=2007的所有不同的整数解
方程2x²+5xy+2y²=2007的所有不同的整数解

方程2x²+5xy+2y²=2007的所有不同的整数解
原方程即：
(2x+y)(x+2y)=2007.
设2x+y=a,
x+2y=b,
(ab=2007),
解得
x=(2a-b)/3,
y=(2b-a)/3.
当x,y为整数时,a,b为整数.
又因为2007=3*3*223,
所以(a,b)可为
(1,2007),(-1,-2007),(3,669),(-3,-669),(9,223),(-9,-223),
(223,9),(-223,-9),(669,3),(-669,-3),(2007,1),(-2007,-1).
(a,b)所对应的(x,y)分别为
(-2005/3,4013/3),(2005/3,-4013/3),(-221,445),(221,-445),
(-205/3,437/3),(205/3,-437/3),
(437/3,-205/3),(-437/3,205/3),(445,-221),(-445,221),
(-4013/3,2005/3),(4013/3,-2005/3).
故原方程的整数解(x,y)为
(221,-445),(-221,445),(445,-221),(-445,221).