椭圆x²/b²+y²/a²=1(a>b>0)的离心率e=√2 /2,短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点.问题:过M点任作一条直线与椭圆相交于P,Q 试问在x轴上是否存在定点N,使∠PNM=∠QNM,若存在,求点N的坐
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:35:45
椭圆x²/b²+y²/a²=1(a>b>0)的离心率e=√2 /2,短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点.问题:过M点任作一条直线与椭圆相交于P,Q 试问在x轴上是否存在定点N,使∠PNM=∠QNM,若存在,求点N的坐
椭圆x²/b²+y²/a²=1(a>b>0)的离心率e=√2 /2,短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点.
问题:过M点任作一条直线与椭圆相交于P,Q 试问在x轴上是否存在定点N,使∠PNM=∠QNM,若存在,求点N的坐标,若不存在,说明理由
椭圆x²/b²+y²/a²=1(a>b>0)的离心率e=√2 /2,短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点.问题:过M点任作一条直线与椭圆相交于P,Q 试问在x轴上是否存在定点N,使∠PNM=∠QNM,若存在,求点N的坐
∵短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA的中点
∴A(2,0)
∴b=2
又∵e=c/a=√2/2
∴a=√2c
又∵a²=b²+c²
∴2c²=4+c²
∴c=2
∴a=2√2
∴椭圆:x²/4+y²/8=1
令N(n,0),如果直线PQ无斜率,则由椭圆对称性可得∠PNM=∠QNM,于是只考虑PQ有斜率的情况,令PQ斜率为k,M(1,0)在PQ上,于是
PQ:y=k(x-1)
代入椭圆方程得
x²/4+k²(x-1)²/8=1
整理得
(2+k²)x²-2k²x+k²-8=0
于是
x=[k²±√(6k²+16)]/(2+k²)
y=k(x-1)=[-2k±k√(6k²+16)]/(2+k²)
这其实就是P、Q的坐标,令PN、QN的斜率分别为Kp、Kq,合记做K,由于直线NM就是x轴,故∠PNM=∠QNM只需Kp=-Kq,P、Q坐标已求出,N(n,0)已令,于是
K=(y-0)/(x-n)=y/(x-n)
={[-2k±k√(6k²+16)]/(2+k²)}/{[k²±√(6k²+16)]/(2+k²)-n}
=[-2k±k√(6k²+16)]/[k²±√(6k²+16)-2n-nk²]
【上式分子分母同乘[-2k∓k√(6k²+16)]进行分子有理化,并记A=√(6k²+16)】
=[4k²-k²(6k²+16)]/(-2k³∓2kA+4nk+2nk³∓k³A-6k³-16k±2nkA±nk³A)
由Kp=-Kq得
(为了更容易看明白,我再多写点——
不妨Kp=[4k²-k²(6k²+16)]/(-2k³-2kA+4nk+2nk³-k³A-6k³-16k+2nkA+nk³A)则
Kq=[4k²-k²(6k²+16)]/(-2k³+2kA+4nk+2nk³+k³A-6k³-16k-2nkA-nk³A)
-Kq=[4k²-k²(6k²+16)]/(2k³-2kA-4nk-2nk³-k³A+6k³+16k+2nkA+nk³A)
对比Kp=-Kq得
-2k³+4nk+2nk³-6k³-16k=2k³-4nk-2nk³+6k³+16k
于是
2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=0 )
2k³-4nk-2nk³+6k³+16k=0
2nk³+4nk=8k³+16k
上式恒成立要同时满足
2n=8 4n=16
恰好存在n=4同时满足以上二式
因此得N(4,0)
综合上述,在x轴上存在定点N(4,0),使∠PNM=∠QNM.