已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根15,求抛
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 02:55:12
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根15,求抛
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根15,求抛
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根15,求抛
设抛物线方程为y²=ax
将直线y=2x+1改写为x=(y-1)/2,代入y²=ax,消x得
2y²-ay+a=0,
由判断式△=a²-4*2a>0解得a8,又由韦达定理有
y1+y2=a/2
y1*y2=a/2
所以,弦长²=(x1-x2)²+(y1-y2)²,将x1=(y2-1)/2,x2=(y2-1)/2代入继续化简
=[ (y1-1)/2-(y2-1)/2]²+(y1-y2)²
=(y1-y2)²/4+(y1-y2)²
= (5/4)(y1-y2)²
= (5/4) [(y1+y2)²-4y1y2]
= (5/4) [(a/2)²-4(a/2)]
= (5/4) (a²/4-2a)
依题意得(5/4) (a²/4-2a)=15,结合a8解得a= -4或12
代入前面所设方程得所求抛物线方程为：y²=-4x或y²=12x
设，抛物线为y^2=2px
则，y^2=(2x+1)^2带入到上式得：4x^2+4x-2px+1=0的两根，为两交点的横坐标，即：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(p^2-4p+4-4)/4=P^2/4-p
x=(y-1)/2带入上式得：y^2-px+p=0的两根，为两交点的纵坐标，
即：(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=P^2-4p<...
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设，抛物线为y^2=2px
则，y^2=(2x+1)^2带入到上式得：4x^2+4x-2px+1=0的两根，为两交点的横坐标，即：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(p^2-4p+4-4)/4=P^2/4-p
x=(y-1)/2带入上式得：y^2-px+p=0的两根，为两交点的纵坐标，
即：(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=P^2-4p
所以，(y1-y2)^2+(x1-x2)^2=15
p^2/4-p+p^2-4p=15
解得：p=-2或6
收起
假设y^=2px,把y=2x+1带入，
4x^-(4+2p)x+1=0,
x1+x2=(4+2p)/4,
x1x2=1/4,
｜x1-x2｜=√〔(4+2p)^/16 -1〕,
弦长^2=15=（1+k^)｜x1-x2｜=5〔(4+2p)^/16 -1〕,
解得：p=2, -6;
抛物线的方程:y^=4x 或者y^=-12x