已知函数f(x)=x²+bx+2.若当x∈[-1,4]时,f（x)≥b+3恒成立,求f(x)

已知函数f(x)=x²+bx+2.若当x∈[-1,4]时,f（x)≥b+3恒成立,求f(x)
已知函数f(x)=x²+bx+2.若当x∈[-1,4]时,f（x)≥b+3恒成立,求f(x)

已知函数f(x)=x²+bx+2.若当x∈[-1,4]时,f（x)≥b+3恒成立,求f(x)
f(x)=x²-2x+2 （b=-2）
用分类讨论对称轴的思想来看最小值的分布,并且与所给的条件作比较,最后得出b的值
f(x)=x²+bx+2=f(x)=（x+b/2)²+2-b²/4
此二次函数开口向上,对称轴为x=-b/2,顶点为（-b/2,2-b²/4）
1、若对称轴小于等于-1
-b/2≤-1 （即b≥2）时,
f(x)最小值为f（-1）,
必须有f（-1）=1-b+2≥b+3,得到b≤0 （不符,舍弃）
2、若对称轴在区间[-1,4]内,（-8

f(1)=1+b+2=b+3
即在x∈[-1,4]，f(x)≥f(1)恒成立
设g(x)=f(x)-f(1)=x²+bx-b-1 且x∈[-1,4]
题目转化为 函数y=g(x)在x∈[-1,4]上恒大于等于0
也就是抛物线的最小值等于0
y=g(x)=(x-b/2)²-b²/4-b-1的最小值只可能是-b²/4-b-...

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f(1)=1+b+2=b+3
即在x∈[-1,4]，f(x)≥f(1)恒成立
设g(x)=f(x)-f(1)=x²+bx-b-1 且x∈[-1,4]
题目转化为 函数y=g(x)在x∈[-1,4]上恒大于等于0
也就是抛物线的最小值等于0
y=g(x)=(x-b/2)²-b²/4-b-1的最小值只可能是-b²/4-b-1，或者在x=-1和x=4是取得
即-b²/4-b-1=0 或者 g(-1)=-2b=0 或者 g(4)=3b+15=0
b=-2 或者 b=0 或者 b=-5
验证b=-2成立
所以f(x)=x²-2x+2

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