在平面直角坐标系xoy中,抛物线y2=4x焦点为F,点A、B为抛物线上异于点O的两个动点,且向量OA乘OB=0求证：直线AB过定点

在平面直角坐标系xoy中,抛物线y2=4x焦点为F,点A、B为抛物线上异于点O的两个动点,且向量OA乘OB=0求证：直线AB过定点
在平面直角坐标系xoy中,抛物线y2=4x焦点为F,点A、B为抛物线上异于点O的两个动点,且
向量OA乘OB=0
求证：直线AB过定点

在平面直角坐标系xoy中,抛物线y2=4x焦点为F,点A、B为抛物线上异于点O的两个动点,且向量OA乘OB=0求证：直线AB过定点
设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则有：y1² = 4x1 ,y2² = 4x2 ,
依题意,可设直线AB的方程为 x+my = b（b≠0）,
则有：x = b-my ,代入 y² = 4x ,
可得：y²+4my-4b = 0 ；
由韦达定理可得：y1y2 = -4b ,
则有：x1x2 = y1²y2²/16 = b² ；
已知,向量OA乘OB = 0 ,即有：OA⊥OB,
可得：(y1/x1)(y2/x2) = -1 ,整理得：x1x2+y1y2 = 0 ,
将 x1x2 = b² ,y1y2 = -4b 代入,可得：b²-4b = 0 ,
已知,b≠0 ,可得：b = 4 ；
因为,当 y = 0 时,x = b-my = b = 4 ,
所以,直线AB过定点 (4,0) .

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