已知双曲线X^2/9 - Y^2/16=1 ,过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则|MF|/|PQ|的值为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:56:00
已知双曲线X^2/9 - Y^2/16=1 ,过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则|MF|/|PQ|的值为多少?
已知双曲线X^2/9 - Y^2/16=1 ,过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则
|MF|/|PQ|的值为多少?
已知双曲线X^2/9 - Y^2/16=1 ,过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则|MF|/|PQ|的值为多少?
双曲线x^2/9-y^2/16=1,则：a=3,b=4,c=5,右焦点F(5,0),右准线：x=9/5.
当直线PQ的斜率不存在时,易知：|MF|=0,所以|MF|/|PQ|=0.
当直线PQ的斜率存在时,设为k,又设点P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1>0,x2>0)
则：k=(y2-y1)/(x2-x1),直线PQ：y=k(x-5).
又点P,Q在双曲线上,所以x1^2/9-y1^2/16=1,x2^2/9-y2^2/16=1,
两式相减得：(x1^2-x2^2)/9=(y1^2-y2^2)/16,
PQ的中点( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2 ),
PQ的垂直平分线：y-(y1+y2)/2=-1/k*[x-(x1+x2)/2],
所以点M( (x1+x2)/2+k(y1+y2)/2,0 ),
又k=(y2-y1)/(x2-x1),(x1^2-x2^2)/9=(y1^2-y2^2)/16,
所以点M( 25(x1+x2)/18,0 ),
所以|MF|=|25(x1+x2)/18 -5|.
而|PQ|=|PF|+|QF|,
P到右准线的距离d1为：x1-9/5,Q到右准线的距离d2为：x2-9/5,
由双曲线的定义可知：|PF|/d1=|QF|/d2=e=5/3,
所以|PQ|=|PF|+|QF|=5/3(x1+x2-18/5),
所以|MP|/|PQ|=5/6.
方法就是这样,你自己再去算算吧.
条件有缺少吧？M是干嘛的都没说~~
设PQ:y=kx-5k P(x1,y1) Q(x2,y2) PQ中点N（x0,y0)
16x^2-9(kx-5k)^2=144
(16-9k2)x^2+90k2x-225k2-144=0
x1+x2=90k2/(9k2-16)
x1x2=-(225k2+144)/(9k2-16)
y1+y2=k(x1+x2)-10k
所以x0=45...
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设PQ:y=kx-5k P(x1,y1) Q(x2,y2) PQ中点N（x0,y0)
16x^2-9(kx-5k)^2=144
(16-9k2)x^2+90k2x-225k2-144=0
x1+x2=90k2/(9k2-16)
x1x2=-(225k2+144)/(9k2-16)
y1+y2=k(x1+x2)-10k
所以x0=45k2/(9k2-16)
y0=[k(x1+x2)-10k]/2
|PQ|=96(1+k2)/(9k2-16)
MN方程：y=-1/k[(x-45k2/(9k2-16)]=80k/(9k2-16)
y=0代入
x=125k^2/(9k2-16)
即M（125k^2/(9k2-16),0)
|MF|=(80k2+80)/(9k2-16)
所以|MF|/|PQ|=5/6
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