已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,a为大于零的常数求证对于任意大于一的整数,lnn>1/2+1/3+……1/N
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 14:36:58
已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,a为大于零的常数求证对于任意大于一的整数,lnn>1/2+1/3+……1/N
已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,a为大于零的常数
求证对于任意大于一的整数,lnn>1/2+1/3+……1/N
已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,a为大于零的常数求证对于任意大于一的整数,lnn>1/2+1/3+……1/N
a=1时,f(x)=lnx+(1-x)/x
=lnx+1/x-1
求导f’(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/ x^2,
显然,x>1时,函数递增;0
f(x)>f(1)= ln1+1/1-1=0
即lnx+1/x-1>0,
lnx>1-1/x.
分别令x=2,3/2,4/3,……, n/(n-1)可得:
ln2>1-1/2=1/2,
ln3/2>1-2/3=1/3,
ln4/3>1-3/4=1/4,
………………
ln n/(n-1)>1- (n-1)/ n=1/n.
以上各式相加得:
ln2 +ln3/2 +ln4/3+………+ln n/(n-1)> 1/2+1/3+……+1/n,
即lnn> 1/2+1/3+……+1/n,
(1-x)/ax中的x是在分母上吗?
f(x)=lnx+(1-x)/(ax)
=lnx+1/(ax)-1/a
f’(x)=1/x-1/(ax^2)=(ax-1)/ax^2
令ax-1=0==>x=1/a
f’’(x)=-1/x^2+2/(ax^3)<0
∴x=1/a时,函数f(x)取极小值。
∵a>0
当01,即函数f(x)极值点大于1
不能保证n能取...
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f(x)=lnx+(1-x)/(ax)
=lnx+1/(ax)-1/a
f’(x)=1/x-1/(ax^2)=(ax-1)/ax^2
令ax-1=0==>x=1/a
f’’(x)=-1/x^2+2/(ax^3)<0
∴x=1/a时,函数f(x)取极小值。
∵a>0
当01,即函数f(x)极值点大于1
不能保证n能取到1,2;
当a>=1时,1/a<=1,即函数f(x)极值点小于等于1
∴此时能保证当x>=1时,f(x)单调增;
f(1)= ln1=0==>lnx+(1-x)/(ax)>0,
lnx>(x-1)/(ax)=1/a(1-1/x)
分别令x=2,3/2,4/3/,……, n/(n-1)可得:
ln2>1/a(1-1/2)=1/(2a)
ln3/2>1/a(1-2/3)=1/(3a)
ln4/3>1/a(1-3/4)=1/(4a)
……
ln( n/(n-1)>1/a(1-(n-1)/n)=1/(na)
Ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln( n/(n-1)=ln(n)
Ln(n)> 1/a(1/2+1/3+…+1/n),
又当a=1时,1/a(1/2+1/3+…+1/n)取最大值
∴Ln(n)> 1/2+1/3+…+1/n,
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