已知P是椭圆x²／a²+y²／b²=1﹙a＞b＞0﹚一动点,且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2,求椭圆离心率

已知P是椭圆x²／a²+y²／b²=1﹙a＞b＞0﹚一动点,且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2,求椭圆离心率
已知P是椭圆x²／a²+y²／b²=1﹙a＞b＞0﹚一动点,
且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2,求椭圆离心率

已知P是椭圆x²／a²+y²／b²=1﹙a＞b＞0﹚一动点,且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2,求椭圆离心率

且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2
设P(x,y),则x²／a²+y²／b²=1, 即y²=b²*(1-x²/a²)=(b²/a²)(a²-x²) ①
两个长轴顶点是A(-a,0),B(a,0)
∴ [y/(x+a)] *[y/(x-a)]=-1/2
y²=(-1/2)(x²-a²) ②
由①②
∴ (b²/a²)(a²-x²)=(-1/2)(x²-a²)
∴ b²/a²=1/2
即 a²=2b²=2(a²-c²)
∴ a²=2c²
∴ a=√2 c
∴ 离心率e=c/a=√2/2

√2/2