如图,直角三角形ABC中,角C=90度,BC=6,AC=8,点P,Q都是斜边AB上的动点（不与点B重合),点P从B向A运动,BP=AQ,点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 06:08:32
如图,直角三角形ABC中,角C=90度,BC=6,AC=8,点P,Q都是斜边AB上的动点（不与点B重合),点P从B向A运动,BP=AQ,点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运
如图,直角三角形ABC中,角C=90度,BC=6,AC=8,点P,Q都是斜边AB上的动点（不与点B重合),点P从B向A运动,BP=AQ,点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,三角形HDE的面积为y.
（1）求证：三角形DHQ∽三角形ABC；
（2）求Y关于X的函数解析式和Y的最大值；
（3）当X为何值时,三角形HDE为等腰三角形?
如图,直角三角形ABC中,角C=90度,BC=6,AC=8,点P,Q都是斜边AB上的动点（不与点B重合),点P从B向A运动,BP=AQ,点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运
（1）证明：
∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,
∴∠HQD=∠C=90°,HD=HA,
∴∠HDQ=∠A,
∴△DHQ∽△ABC
（2）当0＜x≤2.5时,
ED=10-4x,QH=AQtan∠A= 3x/4,
此时y= 1/2*(10-4x)*3/4x=- 3/2x^2+ 15x/4
当x= 5/4时,最大值y= 75/32,
当2.5＜x≤5时,
ED=4x-10,QH=AQtan∠A= 3x/4
此时y= 1/2*(4x-10)* 3x/4= 3x^2/2-15x/4．
当x=5时,最大值y= 75/4；
∴y与x之间的函数解析式为y= -3x^2/2+15x/4(0＜x≤2.5)
y= 3x^2/2-15x/4(2.5＜x≤5),
y的最大值是 75/4
（3）当0＜x≤2.5时,
若DE=DH,∵DH=AH= QA/cos∠A= 5x/4,DE=10-4x,
∴10-4x= 5x/4,x= 40/21．
显然ED=EH,HD=HE不可能
当2.5＜x≤5时,
若DE=DH,4x-10= 5x/4,x= 40/11；
若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,x=5；
若ED=EH,则∠ADH=DHE,
又∵点A、D关于点Q对称,
∴∠A=∠ADH,
∴△EDH∽△HDA,
∴ ED/DH= DH/AD,x= 320/103,
∴当x的值为 40/21, 40/11,5, 320/103时,△HDE是等腰三角形
我才上初二，开学一个月才
（1）， 证明：因为D是A点以Q点为对称中心的对称点，故AQ=DQ。
又HQ吹垂直AB，所以在三角形AHD中，HQ是AB的高，且是AB 的中线，
故三角形AHD是等腰三角形，角A=角HDQ，
又角C=角HQD=90 度，
所以三角形DHQ∽三角形ABC。<...
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（1）， 证明：因为D是A点以Q点为对称中心的对称点，故AQ=DQ。
又HQ吹垂直AB，所以在三角形AHD中，HQ是AB的高，且是AB 的中线，
故三角形AHD是等腰三角形，角A=角HDQ，
又角C=角HQD=90 度，
所以三角形DHQ∽三角形ABC。
（2）， 因为三角形DHQ∽三角形ABC，所以HQ：QD=BC：CA，
HQ=3/4*QD，又QD=AQ=BP=x，HQ=3/4*x，
三角形HDE的面积y为：y=1/2*3/4*x*X=3/8*x^2，
即Y关于X的函数解析式为：y=3/8*x^2。
因为当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，
且点E是点B以P为对称中心的对称点，点P不与点B重合，BP=x，
AB=10，
所以x的取值范围为：0
（3）， 要使三角形HDE为等腰三角形，即ED=DH=AH=BP=x，
因为点D,E分别是点A,B以Q，P为对称中心的对称点，
BP=1/2BE，BE=2x；
DQ=1/2AD，AD=2DQ。
在直角三角形DQH中，DH=x，HQ=3/4x，
故DQ=根号7* X/4 ，
AD=根号7* x/2，而AD+DE+EB=AB，即：根号7* x/2+x+2x=10，
解方程，得：X=20（6-根号7）/29，
所以当X=20（6-根号7）/29时，三角形HDE为等腰三角形。
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