直线l与椭圆C：Xˆ2/3+yˆ=1交与A,B两点,原点O到l的距离为√3/2,求三角形AOB面积最大值

直线l与椭圆C：Xˆ2/3+yˆ=1交与A,B两点,原点O到l的距离为√3/2,求三角形AOB面积最大值
直线l与椭圆C：Xˆ2/3+yˆ=1交与A,B两点,原点O到l的距离为√3/2,求三角形AOB面积最大值

直线l与椭圆C：Xˆ2/3+yˆ=1交与A,B两点,原点O到l的距离为√3/2,求三角形AOB面积最大值
若l与x轴垂直,则,l：x=√3/2或-√3/2,代入椭圆方程,可得A、B两点的纵坐标分别为√3/2和-√3/2
AB=√3,此时面积为S=1/2*AB*d=1/2*√3*√3/2=3/4 ***
或l不与x轴垂直,可设l：y=kx+b,由（0,0）到l的距离为√3/2可得 |b|/根号（1+k^2）=√3/2,
即 4b^2=3(1+k^2) ①
把直线方程y=kx+b和椭圆方程 x^2+3y^2-3=0联立得(1+3k^2)x^2+6kbx+3b^2-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6kb/(1+3k^2),x1x2=3(b^2-1)/(1+3k^2) ②
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+k^2)*(x1-x2)^2=(1+k^2)*[(x1+x2)^2-4x1x2] ③
面积S^2=1/4*d^2*AB^2,把③式代入面积公式并结合②式得
S^2=9/4*(1+k^2)*(1-b^2+3k^2)/(1+3k^2)^2 ⑤
把①式代入⑤得 S^2=9(1+k^2)(1+9k^2)/[16*(1+3k^2)^2] ⑥,令t=k^2,则t>=0
⑥式变为S^2=9(1+t)(1+9t)/[16*(1+3t)^2] =9/16*[1+4/3*1/(1+3t)-4/3*1/(1+3t)^2] ⑦
令u=1/(1+3t),则0