椭圆x²/4+y²=1直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时l交xy轴AB且向量OM=OA+OB求

椭圆x²/4+y²=1直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时l交xy轴AB且向量OM=OA+OB求
椭圆x²/4+y²=1直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时l交xy轴AB且向量OM=OA+OB求

椭圆x²/4+y²=1直线l与椭圆C有且只有一个公共点P,记点P在第一象限时l交xy轴AB且向量OM=OA+OB求
设直线l:y=kx+b
则A（0,b）,B（-b/k,0)
将直线方程代入椭圆方程,x²/4+（kx+b)²=1
即（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
只有一个交点,所以
△=0
(8kb)²-4（1+4k²）*(4b²-4)=0
即4k²-b²+1=0
所以b²=4k²+1
而向量OM=(-b/k,b)
|OM|=根号（-b/k）²+b²）=根号（5+1/k²+4k²)>=3
所以最小值3

5+2根号2