已知直线L与圆x^2+y^2=1相切,并且在两坐标轴上的截距之和为根号3,则L与两坐标轴围成的S为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 20:42:16
已知直线L与圆x^2+y^2=1相切,并且在两坐标轴上的截距之和为根号3,则L与两坐标轴围成的S为?
已知直线L与圆x^2+y^2=1相切,并且在两坐标轴上的截距之和为根号3,则L与两坐标轴围成的S为?
已知直线L与圆x^2+y^2=1相切,并且在两坐标轴上的截距之和为根号3,则L与两坐标轴围成的S为?
设直线分交x于A（a,0）,y轴B（0,y)令AB=c
则c=√（a^2+b^2）
很明显
1/2*|ab|=1/2*1*c
于是
(ab)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3-2ab
(ab)^2+2ab-3=0
ab=1或ab=-3
于是S=|ab|/2=1/2或3/2
当ab=1时,又a+b=√3
则a、b是方程x^2-√3x+1=0的两根
很明显,此方程无实数解,于是舍弃
当ab=-3时,又a+b=√3
则a、b是方程x^2-√3x-3=0的两根
a=√3/2+√15/2,b=√3/2-√15/2
或
a=√3/2-√15/2,b=√3/2+√15/2
或者：
在单位圆x＾2＋y＾2＝1中,连接圆心与截距线L的切点N,则ON=1,ON垂直L.设ON与X轴的夹角&.X轴截距=a,Y轴截距=b
这时a=1/cos&,b=1/sin&
题意知a+b=1/cos&+1/sin&=(sin&+cos&)/(sin&cos&)= 根号3
将方程(sin&+cos&)/(sin&cos&)= 根号3两边平方得
3(sin&cos&)^2-2sin&cos&-1=0
解得sin&cos&=1或sin&cos&=-1/3
sin&cos&=1可整理出sin2&=2,这个关系式不存在,应舍去
故取sin&cos&=-1/3
又L与两坐标所围成的三角形面积=1/2*ab=1/2*1/（sin&cos&）
将sin&cos&=-1/3代入得到三角形面积=3/2 （面积取正值）
设直线分交x于A（a,0）,y轴B（0，y)令AB=c
则c=√（a^2+b^2）
很明显
1/2*|ab|=1/2*1*c
于是
(ab)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3-2ab
(ab)^2+2ab-3=0
ab=1或ab=-3
于是S=|ab|/2=1/2或3/2
当ab=1时，又a+b=√3...
全部展开
设直线分交x于A（a,0）,y轴B（0，y)令AB=c
则c=√（a^2+b^2）
很明显
1/2*|ab|=1/2*1*c
于是
(ab)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3-2ab
(ab)^2+2ab-3=0
ab=1或ab=-3
于是S=|ab|/2=1/2或3/2
当ab=1时，又a+b=√3
则a、b是方程x^2-√3x+1=0的两根
很明显，此方程无实数解，于是舍弃
当ab=-3时，又a+b=√3
则a、b是方程x^2-√3x-3=0的两根
a=√3/2+√15/2，b=√3/2-√15/2
或
a=√3/2-√15/2，b=√3/2+√15/2
舍弃的应该是S=1/2，而不是S=3/2，舍弃的原因不是由于乘方，而是由于a+b=√3这个限制条件
收起
设直线方程为x/a+y/b=1（因为讨论的是面积，而圆心在原点，有对称性，故可以设a>0，b>0）
则bx+ay-ab=0
圆心（0，0）到直线的距离：ab/√a^2+b^2=1
ab=√a^2+b^2
(ab)^2=(a+b)^2-2ab
(ab)^2+2ab-1=0
ab=-1±√2
S=ab/2=（√2-1）/2