点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:25:26
点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
点P在圆 (x-2)^2+y^2=1 上,点Q在抛物线 y^2=2x+2 上.求 |PQ| 最小值和对应 Q 点坐标
用切线平行的方法解答
对圆求导
y'=(2-x)/y
设切点P(x1,y1)
k1=(2-x1)/y1
切线方程：y=1/y1*[(2-x1)x+x1^2+y1^2-2x1]
对抛物线求导：
y'=1/y
设Q(x2,y2）
k2=1/y2
切线方程：y=1/y2*（x-x2)+y2
当k1=k2,且P、Q与圆心（2,0）在同一条直线上时,｜PQ|最小
所以（2-x1）/y1=1/y2
y2/(x2-2)=y1/(x1-2)
消去y1,y2得
x2=1
y2=±2
现只做y2=2时
所以y1=2√5/5
x1=2+√5/5
|PQ| 最小=根号（6-6√5/5）
Q(1,2)或(1,-2)
方法对,
数有点麻烦，我给你个思路吧
圆的圆心是(2,0),半径是1
我们不妨设一个圆心是(2,0),半径为r的圆，
由此可得出这个圆的方程是(x-2)²+y²=r²
再假设这个圆与抛物线相切，我们求出此时r=?
用r减去原来圆的的半径1,就是|PQ|的最小值了用此方法算得最小值为 √5-1, 与楼下答案不同. 不知道何者正确我们老师就是...
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数有点麻烦，我给你个思路吧
圆的圆心是(2,0),半径是1
我们不妨设一个圆心是(2,0),半径为r的圆，
由此可得出这个圆的方程是(x-2)²+y²=r²
再假设这个圆与抛物线相切，我们求出此时r=?
用r减去原来圆的的半径1,就是|PQ|的最小值了
收起
PQ的距离即点P到抛物线的距离：r
设： (x-2)^2+y^2=r^2
又 y^2=2x+2
假设这个圆与抛物线相切，即：当方程唯一解时，r取得最小值时，即PQ的值最小
(x-2)^2+y^2=r^2
可设：x=2+rcosA,y=rsinA代入y^2=2x+2，得
r^2sin^2(A)=4+2rcosA+2
解出最小r...
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PQ的距离即点P到抛物线的距离：r
设： (x-2)^2+y^2=r^2
又 y^2=2x+2
假设这个圆与抛物线相切，即：当方程唯一解时，r取得最小值时，即PQ的值最小
(x-2)^2+y^2=r^2
可设：x=2+rcosA,y=rsinA代入y^2=2x+2，得
r^2sin^2(A)=4+2rcosA+2
解出最小r
用r减去原来圆的的半径1,就是|PQ|的最小值,Q坐标就代入：x=2+rcosA,y=rsinA
或者你可以联立 (x-2)^2+y^2=r^2，r取得最小值时，即PQ的值最小
y^2=2x+2
当取得唯一解的时候就是
收起