已知双曲线x的方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?求详解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 12:46:27
已知双曲线x的方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?求详解
已知双曲线x的方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意
一点,若|PF1|2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?求详解
已知双曲线x的方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?求详解
记|PF1|=m,|PF2|=n
|PF1|2/|PF2|=m^2/n=(n+2a)^2/n
=(n^2+4an+4a^2)/n
=n+4a^2/n+4a≥2√(4a^2)+4a=8a
当且仅当n=4a^2/n,n^2=4a^2,
n=2a时取等号
|PF1|2/|PF2|的最小值为8a
则n=2a能够成立
∵n≥c-a ∴2a≥c-a,3a≥c
e=c/a≤3,又e>1
∴1
x^2/a^2-y^2/b^2=1
PF1^2/PF2>=8a
PF1^2/(PF1-2a)>=8a
PF1^2-8aPF1+16a^2>=0
(PF1-4a)^2>=0
PF1最小时，PF1=c+a
4a=c+a
3a=c
e=c/a=3
则双曲线离心率的取值范围是e≥3可答案是﹙1,3]由(PF1-4a)^2>=0可解得：...
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x^2/a^2-y^2/b^2=1
PF1^2/PF2>=8a
PF1^2/(PF1-2a)>=8a
PF1^2-8aPF1+16a^2>=0
(PF1-4a)^2>=0
PF1最小时，PF1=c+a
4a=c+a
3a=c
e=c/a=3
则双曲线离心率的取值范围是e≥3
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