F1和F2分别是双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1的两个焦点,A和B是以0为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个焦点.且三角形F2AB是等边三角形,求该双曲线的离心率.

F1和F2分别是双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1的两个焦点,A和B是以0为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个焦点.且三角形F2AB是等边三角形,求该双曲线的离心率.
F1和F2分别是双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1的两个焦点,A和B是以0为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个焦点.且三角形F2AB是等边三角形,求该双曲线的离心率.

F1和F2分别是双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1的两个焦点,A和B是以0为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个焦点.且三角形F2AB是等边三角形,求该双曲线的离心率.
由已知条件,
三角形OAF1是直角三角形
且∠AOF1=60°
∴ A的坐标为(-c/2,√3c/2)
代入双曲线方程
c²/4a²-3c²/4b²=1
c²b²-3c²a²=4a²b²
c²(c²-a²)-3c²a²=4a²(c²-a²)
c^4-8a^2c^2+4a^4=0
同时除以a^4
∴ e^4-8e^2+4=0
∴ (e^2-4)^2=12
∴e^2-4=±2√3
∴e^2=4±2√3=(√3±1)²
∵ e>1
∴ e=√3+1