设F1,F2是椭圆x^2/25+y^2/16=1的两个焦点,点P是椭圆上任意一点.（1）若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积;(2)当点P在什么位置是,∠F1PF2最大?并说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 05:28:50
设F1,F2是椭圆x^2/25+y^2/16=1的两个焦点,点P是椭圆上任意一点.（1）若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积;(2)当点P在什么位置是,∠F1PF2最大?并说明理由.
设F1,F2是椭圆x^2/25+y^2/16=1的两个焦点,点P是椭圆上任意一点.
（1）若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积;(2)当点P在什么位置是,∠F1PF2最大?并说明理由.
设F1,F2是椭圆x^2/25+y^2/16=1的两个焦点,点P是椭圆上任意一点.（1）若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积;(2)当点P在什么位置是,∠F1PF2最大?并说明理由.
1、
a=5,由椭圆定义
PF1+PF2=2a=10
平方
PF1²+PF2²=100 -2PF1PF2
c²=a²-b²=25-16=9故c=3
余弦定理
(2c)²=PF1²+PF2² -2PF1PF2*cos60°
36=100 - 3PF1PF2
PF1PF2=(100-36)/3 =64/3
S△=1/2*PF1PF2*sin60°=1/2* 64/3 * 根号3/2
=(16根号3)/3
2、
cos∠F1PF2=[PF1²+PF2²-(2c)²] / 2PF1PF2
=(64-2PF1PF2 )/2PF1PF2
=32/PF1PF2 -1
cosx在(0,2π)单调递减 故只需cos∠F1PF2值最小(即分母PF1PF2最大) ∠F1PF2取最大
由基本不等式
PF1PF2≤(PF1²+PF2²)/2 取等条件PF1=PF2
此时P在椭圆短轴顶点上,故PF1/ c=sin30° 得PF1=PF2=6
cos∠F1PF2=(6²+6²-6²)/(2*6*6)=1/2
∠F1PF2=60°
65645646焦点时
因为所以
科学道理
(1)用余弦定理，x1+x2=2a联立方程组
（2）s=底×高/2 底长度不变，高最大就最大