已知圆C:(x-1)ˆ2﹢yˆ2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程

已知圆C:(x-1)ˆ2﹢yˆ2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程
已知圆C:(x-1)ˆ2﹢yˆ2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程

已知圆C:(x-1)ˆ2﹢yˆ2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程
注意到：∵∠OPC=90°,动点P在以M( 1/2,0)为圆心,OC为直径的圆上,故可以求出圆心与半径,写出圆的标准方程．
定义法：
∵∠OPC=90°,动点P在以M(1/2,0)为圆心,OC为直径的圆上,
∴所求点的轨迹方程为(x-1/2)²+y²=1/4(0＜x≤1)
本题还可以用直接法或者参数法.

圆点O在圆C上
如果直线x=0
那么圆心（1,0）到直线的距离是1=半径
此时相切，直线不会和圆有两个交点，所以不是弦
所以存在斜率设直线y=kx,设交点A（x1，kx1）两一个交点是（0,0）
把y=kx代入圆有
（x1-1）²+k^2x1²=1
设弦中点是（x,y）
那么2x=x1
2y=y1
...

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圆点O在圆C上
如果直线x=0
那么圆心（1,0）到直线的距离是1=半径
此时相切，直线不会和圆有两个交点，所以不是弦
所以存在斜率设直线y=kx,设交点A（x1，kx1）两一个交点是（0,0）
把y=kx代入圆有
（x1-1）²+k^2x1²=1
设弦中点是（x,y）
那么2x=x1
2y=y1
代入得到
（2x-1）²+4y²=1 （x不等于0）
注意0点处无法取得，是此题最大的陷阱

收起

设直线 L 与圆将于 O、A 两点，过圆心 C 作 CP丄OA 于 P ，则 P 是 OA 的中点，
由于 OP丄CP ，因此 P 的轨迹是以 OC 为直径的圆在圆 C 内的部分，
由于 O（0，0），C（1，0），
因此以 OC 为直径的圆的方程为 (x-1/2)^2+y^2=1/4 ，
两方程联立可解得 x=0 ，
因此，所求的轨迹方程为 (x-1/2)...

全部展开

设直线 L 与圆将于 O、A 两点，过圆心 C 作 CP丄OA 于 P ，则 P 是 OA 的中点，
由于 OP丄CP ，因此 P 的轨迹是以 OC 为直径的圆在圆 C 内的部分，
由于 O（0，0），C（1，0），
因此以 OC 为直径的圆的方程为 (x-1/2)^2+y^2=1/4 ，
两方程联立可解得 x=0 ，
因此，所求的轨迹方程为 (x-1/2)^2+y^2=1/4 (x>0) 。

收起

令轨迹中点的坐标为M（x,y) ，圆C坐标为C（1，0）,原点为O
则向量CM=（x-1,y），向量OM=(x,y)
根据圆特性，CM必垂直OM
即向量CM*OM=0
所以x(x-1)+y^=0
配方得 (X-1/2)^+y^=1/4
其中：1>x>0,1/2>y>-1/2