如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D=180°.求证：AE=AD+BE.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 13:42:28
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D=180°.求证：AE=AD+BE.
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D=180°.求证：AE=AD+BE.
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D=180°.求证：AE=AD+BE.
证明:过C作CF垂直AD,交AD延长线于F,
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E
∴CE=CF,AE=AF,
又∠B+∠D=180°
∴∠B=∠CDF
在直角三角形BCE和DCF中,
△BCE≌△DCF,(AAS)
∴BE=DF,
∴AE=AF=AD+DF=AD+BE
证：
在AB上找一点F，使得AF＝AD，连接CF。
对于三角形ACD和ACF：
因为，AC平分∠BAD，所以，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，AD＝AF，
所以，三角形ACD与三角形ACF全等，所以CF＝CD （1）
因为AD+AB＝2AE，所以AF+AB＝2AE，
AB＝AE+EB，所以，AF+AE+EB=2AE，即AF+EB=AE
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证：
在AB上找一点F，使得AF＝AD，连接CF。
对于三角形ACD和ACF：
因为，AC平分∠BAD，所以，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，AD＝AF，
所以，三角形ACD与三角形ACF全等，所以CF＝CD （1）
因为AD+AB＝2AE，所以AF+AB＝2AE，
AB＝AE+EB，所以，AF+AE+EB=2AE，即AF+EB=AE
所以 EB=AE-AF (2)
AE＝AF+EF，所以
EF＝AE－AF （3）
根据（2）、（3），EB=EF
对于三角形CEF和三角形CEB：
CE=CE，EB=EF，∠CEF=∠CEB=90
所以，三角形CEF与三角形CEB全等，所以CF=CB （4）
根据（1）、（4），有CD=CD
收起
作CF垂直AD延长线于F。
AC平分∠BAD，CE⊥AB
全等，
AF=AE，CE=CF
∠B+∠D=180°，∠CDF=∠B
∠CFD=CEB=90，CE=CF，
三角形CDF全等CEB
DF=EB
AE=AD+BE
过C作CF垂直AD,交AD延长线于F,
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E
∴CE=CF,AE=AF,
又∠B+∠D=180°
∴∠B=∠CDF
在直角三角形BCE和DCF中,
△BCE≌△DCF,(AAS)
∴BE=DF,
∴AE=AF=AD+DF=AD+BE