已知函数f(x)=2x+3/3x,数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(1/an),n为正整数(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4 a5+……-a2n a2n+1,求a2n-1-a2n+1及Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 23:14:05
已知函数f(x)=2x+3/3x,数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(1/an),n为正整数(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4 a5+……-a2n a2n+1,求a2n-1-a2n+1及Tn
已知函数f(x)=2x+3/3x,数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(1/an),n为正整数
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4 a5+……-a2n a2n+1,求a2n-1-a2n+1及Tn
已知函数f(x)=2x+3/3x,数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(1/an),n为正整数(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4 a5+……-a2n a2n+1,求a2n-1-a2n+1及Tn
A(n+1)=f（1/An）
A(n+1)=An(2/An +3)/3=2/3 +An
A(n+1)-An=2/3
Tn=A2(A1-A3)+A4(A3-A5)+...+A(2n)(A(2n-1)-A(2n+1))
=A2(-2d)+2A2(-2d)+..nA2(-2d)
=A2(-2d)(1+2+3+4+...+n)
f(x)=(2x+3)/3x化简：=2/3+1/x
所以an+1=f(1/an)=2/3+an，为d=2/3的等差数列。
所以an=1+2(n-1)/3.
这是第一问。
第二问：
Tn=a1a2-a2a3+a3a4-···+（-1）n-1 ana(n+1)
=1*5/3-5/3*7/3+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)/3*(3+2n)/3<...
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f(x)=(2x+3)/3x化简：=2/3+1/x
所以an+1=f(1/an)=2/3+an，为d=2/3的等差数列。
所以an=1+2(n-1)/3.
这是第一问。
第二问：
Tn=a1a2-a2a3+a3a4-···+（-1）n-1 ana(n+1)
=1*5/3-5/3*7/3+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)/3*(3+2n)/3
=1/9*(3*5-5*7+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)*(3+2n))
当n为偶数时，Tn<0。这是因为把括号里按顺序每两项划为一组，则每一组都是负的，总和也是负的。
当n位奇数时，Tn>0.把括号里第一项3*5拿掉不看，剩下的每两项划为一组，则每一组都是正的，总和也是正的。再加上3*5还是正的。
题目说Tn≥tn²，则t一定是负的，并且只要考虑n为偶数就行了（因为n为奇数恒成立）。
设n=2m，（n为偶数）
Tn
=1/9*(3*5-5*7+7*9-9*11+……-(1+4m)*(3+4m))
每两个为一组，
=-1/9*(5*4+9*4+……+(1+4m)*4)
按等差数列求和，
=-4/9*(5+1+4m)*m/2
=-4/9*(3+2m)*m
=(-8/9)m^2-(4/3)m
由于n=2m带入：
Tn=-(2/9)n^2-(2/3)n
由于要Tn≥tn²，带进去：
-(2/9)n^2-(2/3)n>=tn^2对任何n>=1都成立，
即-(2/9)n^2-(2/3)n
用判别式解出t
得出t<=-8/9
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